Análisis Numérico

Plan de Estudios de la Licenciatura en Matemáticas para el Desarrollo. Sistema Escolarizado. Modalidad Presencial

Semestre

  • Licenciatura en Matemáticas para el Desarrollo, 5to semestre.

Impartido por:

Prerequisitos

  1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Programación

Software requerido y herramientas

  • Python y Jupyter Notebook
  • Sistema operativo: Windows 10, Linux, o macOS.
  • Web Browser: Google Chrome, Opera o Firefox.
  • Markdown para escribir documentación.
  • Sistema de control de versiones.

Objetivos generales

  1. Revisar los métodos directos e iterativos básicos, estables, rápidos y de bajo costo computacional.
  2. Evaluar cuando un problema matemático es de datos bien o mal-comportados numéricamente.
  3. Elaborar experimentación numérica desarrollando programas en MATLAB, Fortran, C o Python.
  4. Emplear la resolución numérica de problemas elementales de interés en la ciencia y la tecnología.

Objetivos específicos

  1. Examinar los fundamentos del análisis numérico.
  2. Identificar y aplicar algunos métodos del análisis numérico para la solución de problemas asociados con sistemas de ecuaciones lineales.
  3. Identificar las ideas centrales de la interpolación, los distintos tipos que existen, su importancia práctica con ventajas y desventajas.
  4. Completar sus conocimientos acerca de los métodos de integración numérica.
  5. Aplicar algunos métodos numéricos en el ajuste de datos.
  6. Utilizar algunos algoritmos del análisis numérico a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.
  7. Definir los conceptos relacionados al Método de Monte Carlo, generación de números aleatorios y simulación de variables aleatorias.

Contenido del curso

  1. Análisis de error.
    • Representación de números.
    • Errores de redondeo y aritmética de punto flotante.
    • Propagación del error.
    • Ejemplos.
    • Estimación estadística de errores de redondeo.
  2. Interpolación y aproximación.
    • Interpolación de una función.
    • Interpolación polinomial de Lagrange.
    • Interpolación de Tchebychev.
    • Interpolación trigonométrica.
    • Mejor aproximación.
    • Comparación entre interpolación y mejor aproximación.
  3. Integración numérica.
    • Funciones definidas experimentalmente o numéricamente.
    • Funciones regulares definidas matemáticamente.
    • Integrales singulares.
    • Polinomios ortogonales.
  4. Sistemas de ecuaciones lineales.
    • Algoritmos de resolución directa.
    • Métodos de factorización.
    • Estimación del error.
    • Algoritmos de resolución indirecta.
    • Métodos de relajación.
    • Métodos iterativos.
    • Almacenamiento de grandes sistemas lineales en computadora.
  5. Sistemas de ecuaciones no lineales.
    • Resolución de una ecuación cualquiera.
    • Resolución de una ecuación entera.
    • Resolución de sistemas no lineales.
    • Algoritmos de aceleración de la convergencia.
    • Procedimiento de extrapolación de Richardson.
  6. Optimización de funciones.
    • El método de Levenberg-Marquardt.
    • El método de Gradiente Conjugado.
  7. Cálculo de valores propios de una matriz.
    • Métodos globales matrices generales.
    • Métodos iterativos.
  8. Ecuaciones y sistemas diferenciales con valores iniciales.
    • Ecuación diferencial de primer orden.
    • Métodos de pasos ligados.
    • Sistema diferencial de primer orden.
  9. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP).
    • Ecuación diferencial general de segundo orden.
    • Introducción a los métodos de diferencias finitas para solución de EDP.
    • Elementos finitos.
    • Introducción a los métodos de elementos finitos para solución de EDP.

Bibliografía básica

  1. Bulirsch, R., Stoer, J., & Stoer, J. (2002). Introduction to numerical analysis (Vol. 3). Heidelberg: Springer.
  2. Ascher, U. M., & Greif, C. (Eds.). (2011). A first course on numerical methods. Society for Industrial and Applied Mathematics.
  3. Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations. JHU press.
  4. Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2006). Numerical mathematics (Vol. 37). Springer Science & Business Media.

Bibliografía complementaria

  1. Datta, B. N. (2010). Numerical linear algebra and applications. Society for Industrial and Applied Mathematics.
  2. Ipsen, I. C. (2009). Numerical matrix analysis: Linear systems and least squares. Society for Industrial and Applied Mathematics.
  3. Shonkwiler, R. W., & Mendivil, F. (2009). Explorations in monte carlo methods (pp. 147-158). New York: Springer.
  4. Collins, R. E. (1968). Mathematical methods for physicists and engineers. Courier Corporation.