Errores de redondeo y aritmética de punto flotante

Definición 6

Suponga que \(p^{\ast}\) es una aproximación a \(p\). El error absoluto es \(|p-p^{\ast}|\) y el error relativo es \(\frac{|p-p^{ast}|}{|p|}\) siempre que \(p\neq 0\).

Definición 7

Se dice que el número p* aproxima a \(p\) con \(t\) dígitos (o cifras) significativos si \(t\) es el mayor entero no negativo para el cual

\[ \frac{|p-p^{\ast}|}{|p|} \leq 5 \times 10^{-t}. \]

Ejercicio 1. La función exponencial \(e^{x}\) se aproxima mediante la serie de Maclaurin. La fórmula suma potencias de \(x\) divididas entre el factorial del índice

\[ e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots \]

Calcule el error absoluto y el error relativo tomando \(k\) y \(k+1\) términos de la serie.

Ejercicio 2. Sea

\[ f(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{x}, \]

obtenga \(f'(x)\) utilizando diferencias centrales, diferencia hacia adelante y hacia atrás. Además, calcule el error relativo y el error absoluto.