Funciones definidas experimentalmente o numéricamente#
El método básico para aproximar la integral \(\int_{a}^{b} f(x)~\mathrm{d}x\) se denomina cuadratura numérica. Este utiliza una suma \(\sum_{i=0}^{n} a_{i} f(x_{i})\) para aproximar dicha integral.
La idea básica consiste en seleccionar un conjunto de nodos distintos \(\{x_{0}, \dots , x_{n} \}\) del intervalo \([a, b]\). Integrando el polinomio de interpolación de Lagrange tenemos
\[
P_{n}(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})L_{i}(x),
\]
y su término de error de truncamiento en \([a, b]\) para obtener
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} f(x)~\mathrm{d}x &= \int_{a}^{b} \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(x)~\mathrm{d}x + \int_{a}^{b} \prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}~\mathrm{d}x, \\
&= \sum_{i=0}^{n}a_{i}f(x_{i}) + \frac{1}{(n+1)!} \int_{a}^{b} \prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})f^{(n+1)}(\xi(x))~\mathrm{d}x,
\end{aligned}
\end{split}\]
donde \(\xi(x)\) está en \([a, b]\) para cada \(x\) y
\[
a_{i} = \int_{a}^{b}L_{i}(x)~\mathrm{d}x, \quad \text{para cada} \quad i=0,1,\dots,n.
\]
Por lo tanto, la fórmula de cuadratura es
\[
\int_{a}^{b} f(x)~\mathrm{d}x \approx \int_{i=0}^{n}a_{i}f(x_{i}),
\]
con el error dado por
\[
E(f) = \frac{1}{(n+1)!}\int_{a}^{b} \prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})f^{(n+1)}(\xi(x))~\mathrm{d}x.
\]