Ecuación de Cauchy-Euler
La siguiente ecuación diferencial se conoce como ecuación de Cauchy-Euler
(43)\[
a_{n}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} + a_{n-1}x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_{1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}y = g(x),
\]
donde los coeficientes \(a_{n},a_{n-1},\dots,a_{0}\) son constantes. En esta ecuación podemos observar que el grado de los coeficientes monomiales \(x^{k}\) coinciden con el orden \(k\) de la derivación
\[
a_{n}x^{{\bf n}}\frac{\mathrm{d}^{{\bf n}}y}{\mathrm{d}x^{{\bf n}}} + a_{n-1}x^{{\bf n-1}}\frac{\mathrm{d}^{{\bf n-1}}y}{\mathrm{d}x^{{\bf n-1}}} + \cdots .
\]
Considerando \(y = x^{m}\) con \(m\) como un valor a determinar, sustituimos \(x^{m}\) en (43) y obtenemos un polinomio de la forma siguiente
\[\begin{split}
\begin{aligned}
a_{k}x^{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y}{\mathrm{d}x^{k}} &= a_{k}x^{k}m(m - 1)(m - 2)\cdots(m - k + 1)x^{m - k}, \\
&= a_{k}m(m - 1)(m - 2)\cdots(m - k + 1)x^{m},
\end{aligned}
\end{split}\]
sustituyendo \(y=x^{m}\), la ecuación se puede reescribir como sigue
\[\begin{split}
\begin{aligned}
ax^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + bx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + cy &= am(m - 1)x^{m} + bmx^{m} + cx^{m}, \\
&= (am(m - 1) + bm + c)x^{m}.
\end{aligned}
\end{split}\]
Entonces, la ecuación auxiliar queda definida como sigue
(44)\[\begin{split}
\begin{aligned}
am(m - 1) + bm + c &= 0, \\
am^{2} + (b - a)m + c &= 0.
\end{aligned}
\end{split}\]
De lo anterior, tenemos los casos de si las raíces son reales y distintas, reales e iguales o complejas.
Caso I. Raíces reales y distintas
Si \(m_{1}\) y \(m_{2}\) son las raíces reales de (44) tales que \(m_{1} \neq m_{2}\). Entonces \(y_{1} = x^{m_{1}}\) y \(y_{2} = x^{m_{2}}\) forman el conjunto de soluciones tal que la solución general está dada como sigue
\[
y = c_{1} x^{m_{1}} + c_{2} x^{m_{2}}.
\]
Caso II. Raíces reales repetidas
Si \(m_{1}\) y \(m_{2}\) son raíces repetidas de (44) tales que \(m_{1} = m_{2}\). Entonces \(y = x^{m_{1}}\) es una solución particular. La segunda solución se obtiene a partir de reescribir la ecuación de Cauchy-Euler en la forma estándar
\[
\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + \frac{b}{ax}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{c}{ax^{2}}y = 0,
\]
tomando en cuenta que
\[
P(x) = \frac{b}{ax},
\]
y que si integramos esta expresión obtenemos
\[
\int \frac{b}{ax}~\mathrm{d}x = \frac{b}{a}\ln(x).
\]
Por consiguiente
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y_{} &= x^{m_{1}} \int \frac{e^{-\frac{b}{a}\ln(x)}}{x^{2m_{1}}}~\mathrm{d}x, \\
&= x^{m_{1}} \int x^{-\frac{b}{a}}x^{-2m_{1}}~\mathrm{d}x, \\
&= x^{m_{1}} \int \frac{\mathrm{d}x}{x}, \\
&= x^{m_{1}} \ln(x).
\end{aligned}
\end{split}\]
Por lo tanto, la solución general es
\[
y = c_{1}x^{m_{1}} + c_{2}x^{m_{1}}\ln(x).
\]
Caso III. Raíces complejas conjugadas
Si las raíces de (44) están dadas como \(m = \alpha \pm i\beta\) con \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}^{+}\), entonces una solución de la ecuación está dada como sigue
\[
y = c_{1}x^{\alpha + i \beta} + c_{2}x^{\alpha - i \beta}.
\]
Recordemos las siguientes identidades
\[
x^{i\beta} = \left( e^{\ln(x)} \right)^{i\beta} = e^{i\beta \ln(x)},
\]
así como la identidad de Euler
\[
x^{i\beta} = \cos\left( \beta \ln(x) \right) + i \sin\left( \beta \ln(x) \right),
\]
\[
x^{-i\beta} = \cos\left( \beta \ln(x) \right) - i \sin\left( \beta \ln(x) \right).
\]
Si sumamos y restamos estas identidades, tenemos
\[
x^{i\beta} + x^{-i\beta} = 2\cos\left( \beta \ln(x) \right),
\]
\[
x^{i\beta} - x^{-i\beta} = 2i\sin\left( \beta \ln(x) \right).
\]
Como \(y = c_{1}x^{\alpha + i\beta} + c_{2}x^{\alpha - i\beta}\) es una solución, obtenemos
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y_{1} &= x^{\alpha}\left( x^{i\beta} + x^{-i\beta} \right), \\
&= 2x^{\alpha} \cos\left( \beta \ln(x) \right),
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y_{2} &= x^{\alpha}\left( x^{i\beta} - x^{-i\beta} \right), \\
&= 2ix^{\alpha} \sin\left( \beta \ln(x) \right).
\end{aligned}
\end{split}\]
Calculando el Wronskiano, se tiene
\[
W\left( x^{\alpha} \cos\left(\beta \ln(x) \right), x^{\alpha} \sin\left(\beta \ln(x) \right) \right) = \beta x^{2\alpha - 1}, \quad \beta >0.
\]
Como \(W\left( x^{\alpha} \cos\left(\beta \ln(x) \right), x^{\alpha} \sin\left(\beta \ln(x) \right) \right) \neq 0\), se concluye que
\[
y_{1} = x^{\alpha} \cos\left(\beta \ln(x) \right),
\]
\[
y_{2} = x^{\alpha} \sin\left(\beta \ln(x) \right),
\]
y por consiguiente la solución general de la ecuación diferencial es
\[
y = x^{\alpha} \left[ c_{1}\cos\left(\beta \ln(x) \right) + c_{2}\sin\left(\beta \ln(x) \right) \right].
\]
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
\[
x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} - 2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 4y = 0.
\]
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
\[
4x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + 8x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = 0.
\]
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
\[
4x^{2}y'' + 17y = 0, \qquad y(1) = -1, \quad y'(1) = -\frac{1}{2}.
\]
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
\[
x^{3}\frac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}x^{3}} + 5x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + 7x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 8y = 0.
\]
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
\[
x^{2}y'' - 3xy' + 3y = 2x^{4}e^{x}.
\]
