Problemas de valor inicial y valor de frontera

Un problema de la forma

\[ a_{2}(x)\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + a_{1}(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)y = g(x), \]

sujeto a

\[ y\left(a \right) = y_{0}, \quad y\left(b \right) = y_{1}, \]

se conoce como problema con valores de frontera (PVF). Donde \(y\left(a \right) = y_{0}\), y \(y\left(b \right) = y_{1}\) se llaman condiciones de frontera.

Una solución al PVF es una función que satisface la ED en algún intervalo \(I\) que contiene a \(a\) y \(b\). Además, pasa por los puntos \(\left(a, y_{0} \right)\) y \(\left(b, y_{1} \right)\).

Ejemplo

La siguiente ecuación diferencial

\[ x'' + 16x = 0, \]

tiene como familia de soluciones la siguiente expresión

\[ x = c_{1} \cos\left(4t \right) + c_{2}\sin\left(4t \right). \]

• Número infinito de soluciones

Considere las siguientes condiciones de frontera

\[ x\left(0 \right) = 0, \quad x\left(\frac{\pi}{2} \right) = 0. \]

Lo anterior implica que \(c_{1} = 0\) y por consiguiente \(x=c_{2}\sin\left(4t \right)\). Para la segunda condición se tiene que \(0 = c_{2}\sin\left(2\pi \right)\) se cumple para cualquier valor de \(c_{2}\) ya que \(\sin\left(2\pi\right) = 0\).

• Única solución

Considere las siguientes condiciones de frontera

\[ x\left(0 \right) = 0, \quad x\left(\frac{\pi}{8} \right) = 0. \]

Lo anterior implica que \(c_{1} = 0\). Por consiguiente \(x=0\) es una solución única.

• Sin solución

Considere las siguientes condiciones de frontera

\[ x\left(0 \right) = 0, \quad x\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1. \]

Lo anterior implica que \(c_{1} = 0\). Dado que \(1 \neq c_{2}\sin\left(2\pi \right)\). Por consiguiente, el sistema no tiene solución.