Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Considere la ecuación lineal de segundo oren

(27)\[ a y'' + b y' + cy =0, \]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes. Como se ha visto en la unidad anterior, esta ecuación la podemos resolver utilizando el método de variables separables o con el factor integrante. Para este caso particular, vamos a considerar que la solución tiene la forma

\[ y = e^{mx}, \]

de modo que

\[ y' = me^{mx}, \quad y'' = m^{2}e^{mx}. \]

Sustituyendo en la Ec. (27), se tiene

\[\begin{split} \begin{aligned} am^{2}e^{mx} + bme^{ex} + ce^{mx} &= 0, \\ e^{mx}\left(am^{2} + bm + c \right) &= 0. \end{aligned} \end{split}\]

La forma en que \(y = e^{mx}\) satisface (27) es cuando \(m\) es una raíz de la ecuación cuadrática

(28)\[ am^{2} + bm + c = 0, \]

donde (28) se llama ecuación auxiliar de (27).

De lo anterior, tenemos que las raíces son

\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}, \]

de modo que, tenemos tres casos:

• \(m_{1}\) y \(m_{2}\) reales y distintas cuando \(b^{2} - 4ac > 0\).

• \(m_{1}\) y \(m_{2}\) reales e iguales cuando \(b^{2} - 4ac = 0\).

• \(m_{1}\) y \(m_{2}\) números conjugados complejos cuando \(b^{2} - 4ac < 0\).

Caso I. Raíces reales y distintas

La solución general de la Ec. (27) en el intervalo \((-\infty,\infty)\) está conformada por

\[ y = c_{1}e^{m_{1}x} + c_{2}e^{m_{2}x} \]

donde \(y_{1} = c_{1}e^{m_{1}x}\) y \(y_{2} = c_{2}e^{m_{2}x}\) son linealmente independientes.

Caso II. Raíces reales repetidas

Una segunda solución de la ecuación (27) está dada por

\[ y_{2} = e^{m_{1}x} \int \frac{e^{2m_{1}x}}{e^{2m_{1}x}}~\mathrm{d}x = e^{m_{1}x} \int \mathrm{d}x = xe^{m_{1}x}. \]

De modo que la solución general es

\[ y = c_{1}e^{m_{1}x} + c_{2}xe^{m_{1}x}. \]

Caso III. Raíces complejas conjugadas

La forma normal para este caso está dada por la siguiente expresión

\[ y = c_{1}e^{\left(\alpha + i\beta \right)x} + c_{2}e^{\left(\alpha - i\beta \right)x}, \]

o utilizando la fórmula de Euler como sigue

\[\begin{split} \begin{aligned} y &= c_{1}e^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right) + c_{2}e^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right), \\ &= e^{\alpha x}\left(c_{1}\cos\left(\beta x\right) + c_{2}\sin\left(\beta x\right) \right). \end{aligned} \end{split}\]

Ejemplo

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

\[ 2y'' - 5y' - 3y = 0, \]

\[ y'' - 10y' + 25y = 0, \]

\[ y'' + 4y' + 7y = 0. \]

Atención

Utilice el método de Método de Po-Shen Loh para obtener las raíces.

Ejemplo

Resuelva el siguiente PVI

\[ 4y'' + 4y' + 17y = 0, \quad y(0) = -1, y'(0) = 2. \]

Ecuaciones de orden superior

La solución de una ecuación diferencial de \(n\)-ésimo orden

\[ a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}y'' + a_{1}y' + a_{0}y = 0, \]

donde \(a_{i}, ~ i=0,1,\dots,n\) son constantes reales, depende de la solución de una ecuación polinomial de \(n\)-ésimo grado

(29)\[ a_{n}m^{n} + a_{n-1}m^{n-1} + \cdots + a_{2}m^{2} + a_{1}m + a_{0} = 0. \]

Si las raíces de la Ec. (29) son reales y distintas. Por lo tanto, la solución general está dada como sigue

\[ y = c_{1}e^{m_{1}x} + c_{2}e^{m_{2}x} + \cdots + c_{n}e^{m_{n}x}. \]

Cuando \(m_{1}\) es una raíz de multiplicidad \(k\) de una ecuación auxiliar de \(n\)-ésimo grado, las soluciones linealmente independientes son

\[ \begin{matrix} e^{m_{1}x}, & xe^{m_{1}x}, & x^{2}e^{m_{1}x}, & \dots, & x^{k-1}e^{m_{1}x}, \end{matrix} \]

y la solución general está dada en combinación lineal como sigue

\[ y = c_{1}e^{m_{1}x} + c_{2}xe^{m_{1}x} + c_{3}x^{2}e^{m_{1}x} + \cdots + c_{k}x^{k-1}e^{m_{1}x}. \]

Si \(m_{1} = \alpha + i \beta,~\beta>0\) es una raíz compleja de multiplicidad \(k\) de una ecuación auxiliar con coeficientes reales, entonces su conjugada \(m_{2}=\alpha - i\beta\) también es una raíz de multiplicidad \(k\). Por consiguiente, las \(2k\) soluciones con valores complejos

\[\begin{split} \begin{matrix} e^{\left( \alpha + i\beta \right)x}, & xe^{\left( \alpha + i\beta \right)x}, & x^{2}e^{\left( \alpha + i\beta \right)x}, & \dots, & x^{k-1}e^{\left( \alpha + i\beta \right)x}, \\ e^{\left( \alpha - i\beta \right)x}, & xe^{\left( \alpha - i\beta \right)x}, & x^{2}e^{\left( \alpha - i\beta \right)x}, & \dots, & x^{k-1}e^{\left( \alpha - i\beta \right)x}, \end{matrix} \end{split}\]

o bien,

\[\begin{split} \begin{matrix} e^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right), & xe^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right), & x^{2}e^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right), & \dots, & x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right), \\ e^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right), & xe^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right), & x^{2}e^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right), & \dots, & x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right), \end{matrix} \end{split}\]

donde la solución general de la ecuación diferencial es

\[ y = c_{1}e^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right) + c_{2}e^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right) + c_{3}xe^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right) + c_{4}xe^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right) + \cdots + c_{2k-1}x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\left(\beta x\right) + c_{2k}x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\left(\beta x\right). \]

Ejemplo

Resuelva la siguiente ED de tercer orden

\[ y''' + 3y'' - 4y = 0. \]

Por inspección tenemos que

\[ m^{3} + 3m^{2} - 4 = 0. \]

En consecuencia, las raíces son

\[ m_{1} = 1, \quad m_{2} = m_{3} = -2. \]

Entonces la solución general de la ED está dada por

\[ y = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-2x} + c_{3}xe^{-2x}. \]

Atención

Utilice el método de Método de Ruffini para obtener las raíces.