Problemas con valor inicial

El problema con valores iniciales (PVI) está caracterizado por encontrar la solución \(y(x)\) de una ED de \(n\)-ésimo orden tal que \(y(x)\) satisface condiciones impuestas sobre una \(y(x)\) desconocido o sus derivadas en el intervalo \(I\) que contiene a \(x_{0}\)

(6)\[ \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} = f\left(x,y,y',\dots,y^{(n-1)} \right), \]

sujeto a

\[ y\left(x_{0}\right) = y_{0},y'\left(x_{0}\right) = y_{1},\dots,y^{(n-1)}\left(x_{0}\right) = y_{n-1}, \]

donde \(y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n-1}\) son constantes reales arbitrarias dadas y los valores de \(y(x)\) así como de sus primeras \(n-1\) derivadas en un punto \(x_{0}, y\left(x_{0}\right)=y_{0},y'\left(x_{0}\right)=y_{1},\dots,y^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=y_{n-1}\) representan las condiciones iniciales.

PVI de primer y segundo orden

De la Ec. (6), podemos representar PVI de primer y segundo orden como sigue

(7)\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x,y), \quad y\left(x_{0}\right) = y_{0}, \]

(8)\[ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = f(x,y,y'), \quad y\left(x_{0}\right) = y_{0}, y'\left(x_{0}\right) = y_{1}. \]

Resolver un PVI de la forma (7) conlleva a determinar una familia paramétrica de soluciones y después utilizar la condición inicial \(x_{0}\) para determinar los valores numéricos de las constantes en la familia tomando en cuenta que la solución particular está definida en un intervalo \(I\) que contiene a \(x_{0}\).

Existencia y unicidad

Al trabajar con PVI se tiene que demostrar los siguientes puntos:

Criterio	Condición
Existencia	La ED \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x = f(x,y)\) tiene soluciones
	Alguna de las curvas solución pasa por \(\left(x_{0},y_{0}\right)\)
Unicidad	Una curva solución pasa a través de \(\left(x_{0},y_{0}\right)\)

Ejemplo

El siguiente PVI

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy^{1/2}, \quad y(0)=0, \]

tiene al menos dos soluciones. Por ejemplo, \(y=0\) y \(y=\frac{1}{16}x^{4}\) cuya curva solución pasa por punto \((0,0)\).