Introducción

Un problema con valores iniciales de \(n\)-ésimo orden es

\[ a_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)y = g(x). \]

sujeta a

\[ y\left(x_{0} \right) = y_{0}, ~ y'\left(x_{0} \right) = y_{1}~,\dots,~ y^{(n-1)}\left(x_{0} \right) = y_{n-1}. \]

En este tipo de problema se busca una función definida en \(I\) que contiene a \(x_{0}\) que satisface la ED y las \(n\) condiciones iniciales en \(x_{0}:y\left(x_{0} \right)=y_{0},y'\left(x_{0} \right)=y_{1},\dots,y^{(n-1)}\left(x_{0} \right)=y_{n-1}\).

Para EDs de orden \(n\), se define el siguiente teorema.

Theorem 3 (Existencia de una solución única)

Sea \(a_{n}\left(x \right), a_{n-1}\left(x \right), \dots, a_{1}\left(x \right),a_{0}\left(x \right)\) y \(g\left(x \right)\) continuas en el intervalo \(I\), y además \(a_{n}\left(x \right) \neq 0~\forall x \in I\). Si \(x=x_{0}\) es cualquier punto en \(I\), entonces una solución \(y(x)\) del problema con valores iniciales existe en \(I\) y es única.

Ejemplo

Dado el siguiente problema de valor inicial

(24)\[ y'' - 4y = 12x, \quad y(0) = 4, \quad y'(0)=1, \]

verifique que la función \(y = 3e^{2x} + e^{-2x} - 3x\) es una solución del PVI.

De la Ec. (24) podemos observar que \(g(x) = 12x\) y además \(a_{2}\left(x\right)=1 \neq 0\) en algún intervalo \(I\) que contenga a \(x=0\).