Variación de parámetros
El método de variación de parámetros para encontrar la solución particular de una ED de segundo orden
(30)\[
a_{2}(x)y'' + a_{1}(x)y' + a_{0}(x)y = g(x),
\]
se debe reescribir (30) en la forma estándar como sigue
(31)\[
y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x),
\]
donde \(P(x)\), \(Q(x)\) y \(f(x)\) son continuas en el intervalo común \(I\).
Bajo el supuesto que la solución de la Ec. (31) está dada por la solución particular
(32)\[
y_{p} = u_{1}(x)y_{1}(x) + u_{2}(x)y_{2}(x),
\]
aplicamos la regla de la cadena para derivar dos veces a \(y_{p}\)
(33)\[
y'_{p} = u_{1}y'_{1} + y_{1}u'_{1} + u_{2}y'_{2} + y_{2}u'_{2},
\]
(34)\[
y''_{p} = u_{1}y''_{1} + y'_{1}u'_{1} + y_{1}u''_{1} + u'_{1}y'_{1} + u_{2}y''_{2} + y'_{2}u'_{2} + y_{2}u''_{2} + u'_{2}y'_{2},
\]
Sustituyento (32), (33) y (34) en (31)
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y''_{p} + P(x)y'_{p} + Q(x)y_{p} &= f(x), \\
u_{1}y''_{1} + y'_{1}u'_{1} + y_{1}u''_{1} + u'_{1}y'_{1} + u_{2}y''_{2} + y'_{2}u'_{2} + y_{2}u''_{2} + u'_{2}y'_{2} + P(x)\left[ u_{1}y'_{1} + y_{1}u'_{1} + u_{2}y'_{2} + y_{2}u'_{2} \right] + Q(x)\left[ u_{1}(x)y_{1}(x) + u_{2}(x)y_{2}(x) \right] &= f(x).
\end{aligned}
\end{split}\]
Agrupando términos se obtiene
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ y_{1}u'_{1} \right] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ y_{2}u'_{2} \right] + P\left[ y_{1}u'_{1} + y_{2}u'_{2} \right] + y'_{1}u'_{1} + y'_{2}u'_{2} &= f(x), \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ y_{1}u'_{1} + y_{2}u'_{2} \right] + P\left[ y_{1}u'_{1} + y_{2}u'_{2} \right] + y'_{1}u'_{1} + y'_{2}u'_{2} &= f(x).
\end{aligned}
\end{split}\]
Suponiendo que \(u_{1}\) y \(u_{2}\) satisfacen \(y_{1}u'_{1} + y_{2}u'_{2} = 0\), la ecuación anterior se reduce a la siguiente expresión
\[
y'_{1}u'_{1} + y'_{2}u'_{2} = f(x).
\]
Para determinar las derivadas \(u'_{1}\) y \(u'_{2}\), se construye el siguiente sistema de ecuaciones
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y_{1}u'_{1} + y_{2}u'_{2} &= 0, \\
y'_{1}u'_{1} + y'_{2}u'_{2} &= f(x),
\end{aligned}
\end{split}\]
encontramos que
(35)\[
u'_{1} = \frac{W_{1}}{W} = -\frac{y_{2}f(x)}{W},
\]
(36)\[
u'_{2} = \frac{W_{2}}{W} = \frac{y_{1}f(x)}{W},
\]
donde
\[\begin{split}
W := \left| \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y'_{1} & y'_{2} \end{matrix} \right|, \qquad W_{1} := \left| \begin{matrix} 0 & y_{2} \\ f(x) & y'_{2} \end{matrix} \right|, \qquad W_{2} := \left| \begin{matrix} y_{1} & 0 \\ y'_{1} & f(x) \end{matrix} \right|.
\end{split}\]
Atención
Para obtener las funciones \(u_{1}\) y \(u_{2}\) se integra (35) y (36), respectivamente.
Importante
El determinante W se conoce como el Wronskiano de \(y_{1}\) y \(y_{2}\).
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
(37)\[
y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^{2x}.
\]
Utilizamos la ecuación auxiliar para obtener la solución complementaria como sigue
\[
m^{2} - 4m + 4 = \left(m - 2 \right)^{2},
\]
de lo anterior se tiene que
(38)\[
y_{c} = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x}.
\]
Con \(y_{1} = e^{2x}\) y \(y_{2}=xe^{2x}\) calculamos el Wronskiano
\[\begin{split}
W\left(e^{2x}, xe^{2x} \right) = \left| \begin{matrix} e^{2x} & xe^{2x}\\ 2e^{2x} & 2xe^{2x} + e^{2x} \end{matrix} \right| = e^{4x}.
\end{split}\]
Además, identificamos que \(f(x) = (x + 1)e^{2x}\) de modo que
\[\begin{split}
W_{1} = \left| \begin{matrix} 0 & xe^{2x}\\ (x + 1)e^{2x} & 2xe^{2x} + e^{2x} \end{matrix} \right| = -(x + 1)xe^{4x},
\end{split}\]
\[\begin{split}
W_{2} = \left| \begin{matrix} e^{2x} & 0 \\ 2e^{2x} & (x + 1)e^{2x} \end{matrix} \right| = (x + 1)e^{4x}.
\end{split}\]
Entonces
(39)\[
u'_{1} = -\frac{(x + 1)xe^{4x}}{e^{4x}} = -x^{2} - x,
\]
(40)\[
u'_{2} = \frac{(x + 1)e^{4x}}{e^{4x}} = x + 1.
\]
Integrando las Ecs. (39) y (40) se tiene
\[
u_{1} = -\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2},
\]
\[
u_{2} = \frac{1}{2}x^{2} + x.
\]
Por consiguiente, la solución particular está dada como sigue
(41)\[\begin{split}
\begin{aligned}
y_{p} &= \left( -\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} \right)e^{2x} + \left( \frac{1}{2}x^{2} + x \right)xe^{2x}, \\
&= \frac{1}{6}x^{3}e^{2x} + \frac{1}{2}x^{2}e^{2x}.
\end{aligned}
\end{split}\]
Finalmente, la solución de la Ec. (37) está dada por
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y &= y_{c} + y_{p}, \\
&= c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x} + \frac{1}{6}x^{3}e^{2x} + \frac{1}{2}x^{2}e^{2x}.
\end{aligned}
\end{split}\]
Ejemplo
Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial utilizando el método de variación de parámetros
(42)\[
4y'' + 36y = \csc(3x).
\]
Reescribiendo (37) en la forma estándar, se tiene
\[
y'' + 9y = \frac{1}{4}\csc(3x).
\]
De lo anterior, tenemos la ecuación auxiliar
\[
m^{2} + 9 = 0,
\]
de modo que las raíces son \(m = \pm 3i\). Por consiguiente, la ecuación complementaria es
\[
y_{c} = c_{1}\cos(3x) + c_{2}\sin(3x).
\]
Considerando que \(y_{1} = \cos(3x)\), \(y_{2} = \sin(3x)\) y \(f(x) = \frac{1}{4}\csc(3x)\), calculamos el Wronskiano
\[\begin{split}
W\left(\cos(3x), \sin(3x) \right) = \left| \begin{matrix} \cos(3x) & \sin(3x) \\ -3\sin(3x) & 3\cos(3x) \end{matrix} \right| = 3,
\end{split}\]
\[\begin{split}
W_{1} = \left| \begin{matrix} 0 & \sin(3x) \\ \frac{1}{4}\csc(3x) & 3\cos(3x) \end{matrix} \right| = -\frac{1}{4},
\end{split}\]
\[\begin{split}
W_{2} = \left| \begin{matrix} \cos(3x) & 0 \\ -3\sin(3x) & \frac{1}{4}\csc(3x) \end{matrix} \right| = \frac{1}{4}\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}.
\end{split}\]
Si integramos
\[
u'_{1} = -\frac{1}{12},
\]
\[
u'_{2} = \frac{1}{12}\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)},
\]
obtenemos
\[
u_{1} = -\frac{1}{12}x,
\]
\[
u_{2} = \frac{1}{36}\ln\left( \sin(3x) \right).
\]
Por consiguiente, la solución particular está dada como sigue
\[
y_{p} = -\frac{1}{12}x \cos(3x) + \frac{1}{36} \sin(3x) \ln\left( \sin(3x) \right),
\]
mientras que la solución general por
\[\begin{split}
\begin{aligned}
y &= y_{c} + y_{p}, \\
&= c_{1}\cos(3x) + c_{2}\sin(3x) - \frac{1}{12}x \cos(3x) + \frac{1}{36} \sin(3x) \ln\left( \sin(3x) \right).
\end{aligned}
\end{split}\]
