Curvas solución

ED de primer orden autónomas

Una EDO en la que la variable independiente no está explícitamente presente se llama autónoma (EDA). Si \(x\) es la variable independiente, entonces podemos escribir una EDA de primer orden como \(f\left(y,y'\right)=0\) o de la forma normal

(9)\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(y). \]

Puntos críticos

Un número real \(c\) es un punto crítico de la Ec. (9) si es una raíz de \(f\), esto es, \(f(c)=0\). Un punto crítico también es llamado punto de equilibrio o punto estacionario.

Una solución constante \(y(x)=c\) se llama solución de equilibrio y son únicas soluciones constantes de la Ec. (9).

Curvas solución

La ecuación autónoma

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (y-1)^{2}, \]

tiene un punto crítico \(c=1\) donde la solución \(y(x)\) es una función creciente en las subregiones \(-\infty < y < 1\) así como \(1 < y < \infty\) con \(x\in(-\infty, \infty)\).

Para este caso, \(y(x) = 1 - \frac{1}{(x + c)}\) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial donde el valor de \(c\) se puede obtener a partir de una condición inicial dada.

Las soluciones de los siguientes PVI

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (y-1)^{2}, \quad y(0) = -1, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (y-1)^{2},\quad y(0)=2, \]

están definidas en los intervalos especiales

\[ y(x) = 1 - \frac{1}{x + \frac{1}{2}}, \quad -\frac{1}{2} < x < \infty, \qquad y(x) = 1 - \frac{1}{x - 1}, \quad -\infty < x < 1. \]

Atractores y repulsores

Suponga que \(y(x)\) es una solución no constante de la EDA (9) y que \(c\) es un punto crítico de la ED. Se dice que un punto crítico \(c\) es asintóticamente estable si las soluciones \(y(x)\) comienzan en el punto \(\left(x_{0},y_{0}\right)\) suficientemente cerca de \(c\) presentan un comporamiento asintótico cuando \(\lim_{x\rightarrow \infty} y(x) = c\).

Cuando todas las soluciones \(y(x)\) de la Ec. (9) comienzan en el punto \(\left(x_{0},y_{0}\right)\) y se alejan de \(c\) conforme crece \(x\), se dice que el punto crítico \(c\) es inestable. Cuando un punto crítico es inestable se le conoce como repulsor.

Si la solución inicia en el punto \(\left(x_{0},y_{0}\right)\) el cual está cerca de \(c\) es atraída hacia \(c\) por un lado y repelida por el otro, entonces el punto crítico se denomina semiestable.