Definición de ecuación diferencial

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Definición de ecuación diferencial#

Definition 1

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED).

Considere la siguiente función

\[ y = e^{0.1x^{2}}. \]

Si aplicamos la regla de la cadena sobre el intervalo \((-\infty, \infty)\), tenemos

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0.2xe^{0.1x^{2}}. \]

Sustituyendo \(y=e^{0.1x^{2}}\) en la ecuación anterior, la derivada queda definida como sigue

(1)#\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0.2xy. \]

La Ec. (1) es un tipo de ecuación diferencial. Es importante mencionar que las EDs las podemos clasificar por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por tipo#

Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una ecuación que tiene sólo derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente. Por ejemplo

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 5y = e^{x}, \quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 2x + y, \quad \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 6y = 0. \]

Una Ecuación Diferencial Parcial (EDP) es una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Por ejemplo

\[ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - 2 \frac{\partial u}{\partial t}. \]

En la literatura podemos encontrar diferentes notaciones para las derivadas. Está la notación prima \(y'\), \(y''\), \(y'''\), la notación de Leibniz \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\), \(\mathrm{d}^{2}y/\mathrm{d}x^{2}\), \(\mathrm{d}^{3}y/\mathrm{d}x^{3}\) así como la notación de Newton \(\dot{y}\), \(\ddot{y}\).

Clasificación por orden#

El orden de una ED es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Por ejemplo, la siguiente ecuación

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + 5\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^{3} - 4y = e^{x}, \]

es una EDO de segundo orden.

Simbólicamente es posible representar una EDO de \(n\)-ésimo orden con una variable dependiente de la forma general

(2)#\[ F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0, \]

donde \(F\) es una función con valores reales de \(n+2\) variables: \(x, y, y', \dots, y^{(n)}\).

La ecuación diferencial

\[ \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} = f\left(x, y, y', \dots, y^{(n-1)} \right), \]

donde \(f\) es una función continua con valores reales, es llamada forma normal de la Ec. (2). De modo que las siguientes expresiones se utilizarán para representar en general las ODEs de primer y segundo orden.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\left(x,y \right), \quad \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = f\left(x,y,y' \right). \]

Clasificación por linealidad#

Se dice que una ED de \(n\)-ésimo orden es lineal si \(F\) en (2) es lineal en \(y\), \(y'\), \(\dots\), \(y^{(n)}\). Esto implica que

\[ a_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)y = g(x). \]

De lo anterior, podemos rescatar las siguientes características:

La variable dependiente \(y\) y las derivadas \(y'\), \(y''\), \(\dots\), \(y^{(n)}\) son de primer grado.
Los coeficientes de \(a_{0}\), \(a_{1}\), \(\dots\), \(a_{n}\) de \(y\), \(y'\), \(\dots\), \(y^{(n)}\) dependen a lo más de la variable independiente \(x\).

Se dice que una EDO es no lineal si funciones no lineales de la variable dependiente no se pueden representar en una ecuación lineal. Por ejemplo

\[ \underbrace{(1 - y)y'}_{\text{término no lineal}} + 2y = e^{x}, \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + \underbrace{\sin{\left(y\right)}}_{\text{término no lineal}} = 0, \qquad \frac{\mathrm{d}^{4}y}{\mathrm{d}x^{4}} + \underbrace{y^{2}}_{\text{término no lineal}} = 0. \]

Soluciones#

Definition 2

Se dice que cualquier función \(\phi\) es una solución de una EDO de \(n\)-ésimo orden si al sustituir las \(n\) derivadas continuas en \(I\) se reduce la ecuación a una identidad.

De la definición anterior tenemos, que una solución de una EDO de \(n\)-ésimo orden es una función \(\phi\) que posee \(n\) derivadas tal que

\[ F\left(x, \phi(x), \phi'(x),\dots,\phi^{(n)}(x)\right) = 0, ~ \forall x \in I, \]

se dice que \(\phi\) satisface la ED en \(I\).

Intervalo de definición#

Un intervalo abierto \((a,b)\), un intervalo cerrado \([a,b]\) o un intervalo infinito \((a,\infty)\) son conocidos como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de la solución.

Dadas las siguientes ecuaciones, verifique que la función dada es una solución.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy^{\frac{1}{2}}, \quad y = \frac{1}{16}x^{4}, \]

\[ y'' - 2y' + y = 0, \quad y = xe^{x}. \]

Soluciones explícitas e implícitas#

La solución explícita está definida como aquella solución en la que la variable dependiente se expresa en términos de la variable independiente y las constantes. Por ejemplo, las siguientes

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy^{\frac{1}{2}}, \quad y = \frac{1}{16}x^{4}, \]

\[ y'' - 2y' + y = 0, \quad y xe^{x}, \]

\[ xy' + y = 0, \quad y = \frac{1}{x}. \]

Definition 3

Se dice que una relación \(G(x,y) = 0\) es una solución implícita de una EDO en un intervalo I, bajo el supuesto de que existe al menos una función \(\phi\) que satisface la relación así como la ED en I.

Dada la siguiente ecuación diferencial

(3)#\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{x}{y}, \]

se tiene la siguiente solución implícita dada por la relación

(4)#\[ x^{2} + y^{2} = 25, \]

en el intervalor abierto \((-5,5)\).

Derivamos implícitamente (4) como sigue

(5)#\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{2} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} y^{2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 25 \quad \rightarrow \quad 2x + 2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0. \]

Resolviendo (5), obtenemos (3) de modo que si resolvemos \(y\) en términos de \(x\) se obtiene

\[ y = \phi_{1}(x) = \sqrt{25 - x^{2}}, \qquad y = \phi_{2}(x) = -\sqrt{25 - x^{2}}, \]

que son las soluciones explícitas definidas en el intervalo \((-5,5)\).

Familias de soluciones#

Una solución \(\phi\) es llamada integral de la ecuación y su gráfica es denominada curva integral. Cuando resolvemos una ecuación deiferencial de orden \(n\) de la forma

\[ F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0, \]

se busca una familia de soluciones \(n\)-paramétrica de la forma

\[ G(x,y,c_{1},c_{2},\dots,c_{n}) = 0. \]

Nota

Cuando una solución está libre de parámetros se llama solución particular.

Cuando una ED tiene una solución que no es miembro de una familia de soluciones, es decir, que no se puede obtener utilizando un parámetro específico de la familia de soluciones se le conoce como solución singular.

Sistemas de ecuaciones diferenciales#

Un sistema de EDOs tiene dos o más ecuaciones que implican derivadas de dos o más funciones de una sola variable independiente. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de dos ED de primer orden dado como sigue

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= f\left(t, x, y\right), \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= g\left(t, x, y\right), \end{aligned} \end{split}\]

donde la solución está dada por un par de funciones derivables \(x=\phi_{1}(t)\), \(y=\phi_{2}(t)\) en un intervalo común \(I\) que satisface cada ecuación del sistema en el mismo intervalo.