Definición de la transformada de Laplace

Definición de la transformada de Laplace#

Una integral definida como

\[ \int_{a}^{b} K(s,t)~f(t)~\mathrm{d}t, \]

transforma una función \(f\) de la variable \(t\) en una función \(F\) de la variable \(s\).

Si \(f(t)\) se define para \(t\leq 0\), entonces la integral impropia está definida como sigue

(59)#\[ \int_{0}^{\infty} K(s,t)~f(t)~\mathrm{d}t = \lim_{b\rightarrow \infty} \int_{0}^{b} K(s,t)~f(t)~\mathrm{d}t. \]

Si la integral en (59) existe, entonces se dice que la integral es convergente. Por otro lado, si no existe entonces es divergente. Además, la función \(K(s,t)\) se llama kernel o núcleo de la transformada.

Definition 12

Sea \(f\) una función definida para \(t\leq 0\), entonces la transformada de Laplace de \(f\) está definida como sigue

\[ \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)~\mathrm{d}t. \]

Dado que \(F(s)\) denota la transformada de Laplace de una función \(f(t)\), se dice que \(f(t)\) es la transformada inversa de Laplace de \(F(s)\) y se escribe como sigue

\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s) \right\}. \]

Definition 13 (Función escalón unitario)

La función escalón unitario se define como sigue

\[\begin{split} \mathcal{U}(t - a) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0 \leq t < a \\ 1, & t \geq a \end{matrix} \right. \end{split}\]

Propiedades de la transformada de Laplace#

  • Transformación lineal

\[ \mathcal{L}\left\{ \alpha~f(t) + \beta~g(t) \right\} = \alpha~\mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + \beta~\mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} = \alpha~F(s) + \beta~G(s). \]

  • Cambio de escala

\[ \mathcal{L}\left\{ f\left(\alpha~t\right) \right\} = \frac{1}{\alpha} F\left( \frac{s}{\alpha} \right). \]

  • Traslación

Theorem 11 (Primer teorema de traslación)

Si \(\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = F(s)\) y \(a\) es cualquier número real, entonces

\[ \mathcal{L}\left\{ e^{at}f\left(t\right) \right\} = F\left( s - a \right). \]

La forma inversa del teorema de traslación se puede encontrar multiplicando \(e^{at}\) por \(f(t)\) en la inversa de Laplace de \(F(s)\) como sigue

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s)|_{s\rightarrow s - a} \right\} = e^{at}f(t), \]

donde \(f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}\).

Theorem 12 (Segundo teorema de traslación)

Si \(\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = F(s)\) y \(a>0\), entonces

\[ \mathcal{L}\left\{ f\left(t - a\right)~\mathcal{U}\left(t - a\right) \right\} = e^{-as}F\left( s \right). \]

Forma inversa del segundo teorema de traslación

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a)~\mathcal{U}(t - a), \]

  • Derivada

\[ \mathcal{L}\left\{ f'(t) \right\} = s~F\left( s \right) - f\left( 0 \right). \]

  • Segunda derivada

\[ \mathcal{L}\left\{ f''(t) \right\} = s^{2}~F\left( s \right) - sf\left( 0 \right) - f'\left( 0 \right). \]

  • \(n\)-ésima derivada

\[ \mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^{n}~F\left( s \right) - s^{n-1}f\left( 0 \right) - s^{n-2}f'\left( 0 \right) - s^{n-3}f''\left( 0 \right) - \cdots - sf^{(n-2)}\left( 0 \right) - f^{(n-1)}\left( 0 \right). \]

  • Integral

\[ \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(t)~\mathrm{d}t \right\} = \frac{1}{s}F(s). \]

  • Producto con el monomio \(t\)

\[ \mathcal{L}\left\{ t~f\left( t \right) \right\} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F(s). \]

  • Producto con el monomio \(t^{n}\)

Theorem 13 (Derivadas de transformadas)

Si \(F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}\), con \(n=1,2,3,\dots\), entonces

\[ \mathcal{L}\left\{ t^{n}~f\left( t \right) \right\} = (-1)^{n} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}s^{n}}F(s). \]

Ejemplo

Evalúe las siguientes transformadas integrales

\[ \mathcal{L} \left\{ 1 \right\}. \]
\[ \mathcal{L} \left\{ t \right\}. \]
\[ \mathcal{L} \left\{ e^{-3t} \right\}. \]
\[ \mathcal{L} \left\{ \sin\left( 2t \right) \right\}. \]

Ejemplo

Evalúe las siguientes transformadas inversas

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^{5}} \right\}. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^{2} + 7} \right\}. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{-2s + 6}{s^{2} + 4} \right\}. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s^{2} + 6s + 9}{(s - 1)(s - 2)(s + 4)} \right\} \]

Ejemplo

Utilice la transformada de Laplace para resolver los siguientes PVI

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 3y = 13\sin(2t), \quad y(0)=6. \]
\[ y'' -3y' + 2y = e^{-4t}, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=5. \]

Ejemplo

Utilice las propiedades de la transformada de Laplace y evalúe lo siguiente

\[ \mathcal{L} \left\{ e^{5t}t^{3} \right\}. \]
\[ \mathcal{L} \left\{ e^{-2t}\cos\left( 4t \right) \right\}. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{2s + 5}{(s - 3)^{2}} \right\}. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{\frac{s}{2} + \frac{5}{3}}{s^{2} + 4s + 6} \right\}. \]
\[ y'' - 6y' + 9y = t^{2}e^{3t}, \quad y(0)=2, \quad y'(0) = 17. \]
\[ y'' + 4y' + 6y = 1 + e^{-t}, \quad y(0)=0, \quad y'(0) = 0. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s - 4}e^{-2s} \right\}. \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^{2} + 9}e^{-\frac{\pi~s}{2}} \right\}. \]
\[ \mathcal{L}\left\{ t~\sin(kt) \right\} \]
\[ x'' + 16x = \cos(4t), \quad x(0)=0, \quad x'(0)=1. \]

Convolución#

Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas por tramos en \([0, \infty)\), entonces el producto especial representado como \(f\ast g\) y definido como sigue

(60)#\[ f\ast g = \int_{0}^{t}f(\tau)~g(t - \tau)~\mathrm{d}\tau, \]

se llama convolución de \(f\) y \(g\).

Theorem 14 (Teorema de convolución)

Si \(f(t)\) y \(g(t)\) son funciones continuas de orden exponencial en \([0,\infty)\), entonces

\[ \mathcal{L}\left\{ f\ast g \right\} = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}~\mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} = F(s)G(s). \]

Transformada de una integral#

Como podemos recordar, si \(g(t)=1\) entonces \(\mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} = G(s) = \frac{1}{s}\). El teorema de convolución implica que la transformada integral de \(f\) está dada como sigue

(61)#\[ \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)~\mathrm{d}\tau \right\} = \frac{F(s)}{s}, \]

mientras que la forma inversa como

(62)#\[ \int_{0}^{t} f(\tau)~\mathrm{d}\tau = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{F(s)}{s} \right\}. \]

Ecuación integral de Volterra#

El teorema de convolución y la transformada de una integral (61) se pueden utilizar para resolver una ecuación integral de Volterra

(63)#\[ f(t) = g(t) + \int_{0}^{t}f(\tau)~h(t - \tau)~\mathrm{d}\tau, \]

donde \(g(t)\) y \(h(t)\) son funciones conocidas.

Importante

La integral (63) tiene la forma de la Ec. (60) con \(h\) en lugar de \(g\).

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