Ecuaciones homogéneas y no homogéneas

Una ED lineal de \(n\)-ésimo orden de la forma

(25)\[ a_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)y = 0, \]

se dice que es homogénea mientras que

(26)\[ a_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)y = g(x). \]

con \(g(x)\) diferente de cero, se dice que es no homogénea.

Atención

Para resolver una Ec. de la forma (26) se debe resolver primero la ecuación homogénea asociada (25).

Operadores diferenciales

El símbolo \(\mathcal{D}\) se llama operador diferencial y suele ser utilizado para denotar la derivación, i.e.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \mathcal{D}y. \]

Por ejemplo

\[ \mathcal{D}\left(\cos(4x) \right) = -4\sin\left(4x\right), \]

\[ \mathcal{D}\left(5x^{3} - 6x^{2} \right) = 15x^{2} - 12x. \]

Las derivadas de orden superior se pueden expresar de la siguiente forma

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = \mathcal{D} \left(\mathcal{D}y \right) = \mathcal{D}^{2}y, \]

o de forma general como sigue

\[ \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} = \mathcal{D}^{n}y, \]

donde \(y\) representa a la función derivable.

De forma general, se define un operador diferencial de \(n\)-ésimo orden u operador polinomial como sigue

\[ L = a_{n}\left(x\right)\mathcal{D}^{n} + a_{n-1}\left(x\right)\mathcal{D}^{n-1} + \cdots + a_{1}\left(x\right)\mathcal{D} + a_{0}\left(x\right). \]

Algunas propiedades básicas de la derivada son las siguientes:

• \(\mathcal{D}\left(c~f(x)\right) = c~\mathcal{D}~f(x)\).

• \(\mathcal{D}\left\{ f(x) + g(x) \right\} = \mathcal{D}~f(x) + \mathcal{D}~g(x)\).

Como \(L\) es un operador diferencial con propiedad de linealidad, esto es, que se puede operar como una combinación lineal de dos funciones variables se puede expresar como sigue

\[ L\left\{ \alpha f(x) + \beta g(x) \right\} = \alpha L\left(f(x)\right) + \beta L\left(g(x)\right), \]

donde \(\alpha\) y \(\beta\) son constantes.

Ecuaciones diferenciales

Una ED lineal se puede expresar en términos de la notación \(\mathcal{D}\). Por ejemplo

\[ y'' + 5y' + 6y = 5x - 3, \]

se puede rescribir como sigue

\[ \mathcal{D}^{2}y + 5\mathcal{D}y + 6y = 5x - 3, \]

o bien

\[ \left(\mathcal{D}^{2} + 5\mathcal{D} + 6 \right)y = 5x - 3. \]

Principio de superposición

Theorem 4 (Principio de superposición en ecuaciones homogéneas)

Sean \(y_{1},y_{2},\dots,y_{k}\) soluciones de la Ec. (25) en un intervalo \(I\), entonces la combinación lineal

\[ y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x), \]

donde \(c_{i}, i=1,2,\dots,k\) son constantes arbitrarias.

Sean \(y_{1}(x)\) y \(y_{2}(x)\) soluciones de la ecuación homogénea \(L(y) = 0\) con \(k=2\). Si se define la siguiente ecuación

\[ y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x), \]

entonces aplicando la linealidad de \(L\) se obtiene

\[ L(y) = L\left\{c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) \right\} = c_{1}L(y_{1}) + c_{2}L(y_{2}) = c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 0 = 0. \]

Ejemplo

Las siguientes funciones

\[ y_{1} = x^{2}, \quad y_{2} = x^{2}\ln(x), \]

son soluciones de la ecuación lineal homogénea

\[ x^{3}y''' - 2xy' + 4y = 0, \]

en el intervalo \((0,\infty)\).

Por el Theorem 4, la combinación lineal

\[ y = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{2}\ln(x), \]

también es una solución de la ecuación en el intervalo dado.

Dependencia e idependencia lineal

Definition 7

Un conjunto de funciones \(f_{1}(x),f_{2}(x),\dots,f_{n}(x)\) es linealmente dependiente en un intervalo \(I\) si existen constantes \(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\) diferentes de cero tales que

\[ c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + \cdots + c_{n}f_{n}(x) = 0, \quad \forall x \in I. \]

Importante

Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente.

Ejemplo

Las siguientes funciones

\[ f_{1}(x) = \cos^{2}(x), \]

\[ f_{2}(x) = \sin^{2}(x), \]

\[ f_{3}(x) = \sec^{2}(x), \]

\[ f_{4}(x) = \tan^{2}(x), \]

son linealmente dependientes en el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\) debido a que

\[ c_{1}\cos^{2}(x) + c_{2}\sin^{2}(x) + c_{3}\sec^{2}(x) + c_{4}\tan^{2}(x) = 0, \]

con \(c_{1} = c_{2} = 1\), \(c_{3} = -1\), \(c_{4}=1\).

Donde

\[ \cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1, \]

\[ 1 + \tan^{2}(x) = \sec^{2}(x). \]

Definition 8

Si cada una de las funciones \(f_{1}(x), f_{2}(x), \dots, f_{n}(x)\) tiene al menos \(n-1\) derivadas, el determinante

\[\begin{split} W\left(f_{1},f_{2},\dots,f_{n} \right) = \begin{bmatrix} f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{n} \\ f'_{1} & f'_{2} & \cdots & f'_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f^{(n-1)}_{1} & f^{(n-1)}_{2} & \cdots & f^{(n-1)}_{n} \end{bmatrix}, \end{split}\]

se llama el Wronskiano de las funciones.

Theorem 5 (Criterio para soluciones linealmente independientes)

Sean \(y_{1}, y_{2},\dots,y_{n}\)~ \(n\) soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de \(n\)-ésimo orden (25) en \(I\).

El conjunto de soluciones es linealmente independiente en \(I\) si y sólo si \(W\left(\right) \neq 0, ~ \forall x \in I\) [Zill and Cullen, 2008].

Definition 9

Un conjunto fundamental de soluciones en \(I\) es cualquier conjunto \(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}\) de \(n\) soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de \(n\)-ésimo orden (25).

Theorem 6 (Existencia de un conjunto fundamental)

Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial lineal homogénea de \(n\)-ésimo orden (25) en \(I\) [Zill and Cullen, 2008].

Theorem 7 (Solución general de ecuaciones homogéneas)

Sea \(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}\) un conjunto de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de \(n\)-ésimo orden (25) en \(I\). La solución general de la ecuación en \(I\) es

\[ y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x), \]

donde \(c_{i},~i=1,2,\dots,n\) son constantes arbitrarias [Zill and Cullen, 2008].

Ejemplo

Las funciones

\[ y_{1} = e^{3x}, \]

\[ y_{2} = e^{-3x}, \]

son soluciones de la ecuación lineal homogénea

\[ y'' - 9y = 0 \]

en el intervalo \((-\infty,\infty)\).

Partiendo de la Definition 8, obtenemos el Wronskiano

\[\begin{split} W\left(e^{3x}, e^{-3x} \right) = \begin{bmatrix} e^{3x} & e^{-3x} \\ 3e^{3x} & -3e^{-3x} \end{bmatrix} = -6, ~ \forall x. \end{split}\]

Puesto que \(W\left(e^{3x}, e^{-3x} \right) \neq 0\), se concluye que \(y_{1}\) y \(y_{2}\) forman un conjunto de soluciones. Por consiguiente, la solución general de la ecuación en el intervalo \((-\infty,\infty)\) está dado como sigue

\[ y = c_{1}e^{3x} + c_{2}e^{-3x}. \]

Ejemplo

Las funciones

\[ y_{1} = e^{x}, \]

\[ y_{2} = e^{2x}, \]

\[ y_{3} = e^{3x} \]

satisfacen la ecuación de tercer orden

\[ y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0. \]

Calculando el Wronskiano

\[\begin{split} W\left(e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right) = \begin{bmatrix} e^{x} & e^{2x} & e^{3x} \\ e^{x} & 2e^{2x} & 3e^{3x} \\ e^{x} & 4e^{2x} & 9e^{3x} \end{bmatrix} = 2e^{6x}, ~ \forall x. \end{split}\]

Puesto que \(W\left(e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right) \neq 0\), las funciones \(y_{1},y_{2},y_{3}\) forman un conjunto de soluciones en \((-\infty,\infty)\). Por consiguiente, la solución general está dada como sigue

\[ y = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{2x} + c_{3}e^{3x}. \]

Una solución particular o integral particular es una función \(y_{p}\) libre de parámetros arbitrarios que satisface la Ec. (26).

Theorem 8 (Solución general de ecuaciones no homogéneas)

Sea \(y_{p}\) una solución particular de la ecuación diferencial lineal no homopgénea de \(n\)-ésimo orden (26) en \(I\), y sea \(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}\) un conjunto de soluciones de la ecuación diferencial homogénea (25) en \(I\). Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo

\[ y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}(x) + y_{p}, \]

donde las \(c_{i}, ~i=1,2,\dots,n\) son constantes arbitrarias.

Función complementaria

La solución general de (25) está compuesta por la suma de dos funciones como sigue

\[ y = y_{c}(x) + y_{p}(x), \]

donde \(y_{c}(x)\) se llama función complementaria.

Ejemplo

Demuestre que la solución particular \(y_{p} = -\frac{11}{12} - \frac{1}{2}x\) y la solución complementaria \(y_{c} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{2x} + c_{3}e^{3x}\) conforman la solución general de la ecuación no homogénea

\[ y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 3x. \]