Matriz exponencial
Considere que si se define una matriz exponencial \(e^{{\bf A}t}\) entonces
\[
{\bf X} = e^{{\bf A}t}{\bf C},
\]
es una solución del sistema homogéneo (47) con \({\bf A}\) como una matriz de \(n\times n\) constantes y \({\bf C}\) un vector columna de \(n\times 1\) constantes arbitrarias.
Recordando que \(e^{{\bf A}t}\) se puede representar como una serie de potencias de la forma
\[
e^{at} = 1 + at + a^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \cdots + a^{k}\frac{t^{k}}{k!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} a^{k}\frac{t^{k}}{k!}.
\]
Utilizando la serie con la identidad \(I\) y reemplazando \(a\) por una matriz \({\bf A}\) para obtener la siguiente definición.
Definition 11 (Matrix exponencial)
Para cualquier matriz \({\bf A}^{n\times n}\)
\[
e^{{\bf A}t} = I + {\bf A}t + {\bf A}^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \cdots + {\bf A}^{k}\frac{t^{k}}{k!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} {\bf A}^{k}\frac{t^{k}}{k!}.
\]
La derivada de la matriz exponencial se puede obtener a partir de la propiedad exponencial escalar como sigue
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{{\bf A}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ I + {\bf A}t + {\bf A^{2}}\frac{t^{2}}{2!} + \cdots + {\bf A^{k}}\frac{t^{k}}{k!} + \cdots \right], \\
&= {\bf A} + {\bf A^{2}}t + \frac{1}{2!}{\bf A^{3}}t^{2} + \cdots, \\
&= {\bf A} \left[ I + {\bf A}t + {\bf A^{2}}\frac{t^{2}}{2!} + \cdots \right], \\
&= {\bf A}e^{{\bf A}t}.
\end{aligned}
\end{split}\]
Recordando que la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma \(x' = ax + f(t)\) se puede expresar como sigue
\[\begin{split}
\begin{aligned}
x &= x_{c} + x_{p}, \\
&= ce^{at} + e^{at} \int_{0}^{t} e^{-as}f(s)~\mathrm{d}s.
\end{aligned}
\end{split}\]
Para un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orde considerando \({\bf X'} = {\bf A}{\bf X} + {\bf F}(t)\), se tiene
\[\begin{split}
\begin{aligned}
{\bf X} &= {\bf X_{c}} + {\bf X_{p}}, \\
&= e^{{\bf A}t}{\bf C} + e^{{\bf A}t} \int_{0}^{t} e^{-{\bf A}s}{\bf F}(s)~\mathrm{d}s.
\end{aligned}
\end{split}\]
Sistemas no homogéneos
Para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo, la solución general de un sistema de la forma
\[
{\bf X'} = {\bf A}{\bf X} + {\bf F}(t),
\]
donde \({\bf A}\) es una matriz de \(n\times n\), está dada como sigue
\[\begin{split}
\begin{aligned}
{\bf X} &= {\bf X_{c}} + {\bf X_{p}}, \\
&= e^{{\bf A}t}{\bf C} + e^{{\bf A}t} \int_{0}^{t} e^{-{\bf A}s}~{\bf F}(s)~\mathrm{d}s.
\end{aligned}
\end{split}\]
Dado que \({\bf X} = e^{{\bf A}t}\) es una solución de \({\bf X'} = {\bf A}{\bf X}\) se tiene que \(\mathcal{L}\left\{ {\bf X}(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{ e^{{\bf A}t} \right\} = {\bf x}(s)\), por lo tanto, la transformada de Laplace está dada como sigue
\[\begin{split}
\begin{aligned}
s{\bf x}(s) - {\bf X}(0) &= {\bf A}{\bf x}(s), \\
\left(s{\bf I} - {\bf A} \right){\bf x}(s) = I.
\end{aligned}
\end{split}\]
Despejando \({\bf x}(s)\) se tiene
\[
e^{{\bf A}t} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \left(s{\bf I} - {\bf A} \right)^{-1} \right\}
\]
Ejemplo
Utilice la transformada de Laplace para calcular \(e^{{\bf A}t}\) dado
\[\begin{split}
A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}
\end{split}\]
