Álgebra Lineal

Álgebra Lineal#

En este capitulo, vamos a recordar algunos conceptos de álgebra lineal que nos servirán para analizar sistemas dinámicos. Para ello, vamos a extender la noción de combinación lineal de vectores en \(\mathbb{R}^{n}\) a un espacio vectorial \(V\) cualquiera.

Combinaciones lineales#

Un sistema no homogéneo de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas de la forma

\[\begin{split} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1n}x_{n} &= b_{1}, \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots + a_{2n}x_{n} &= b_{2}, \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + \dots + a_{3n}x_{n} &= b_{3}, \\ \vdots \quad \quad &= \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \dots + a_{mn}x_{n} &= b_{m}, \end{aligned} \end{split}\]

puede ser representado de forma vectorial como sigue

\[\begin{split} x_1 \left\lbrack \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{\mathrm{m1}} \end{array}\right\rbrack +x_2 \left\lbrack \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{\mathrm{m2}} \end{array}\right\rbrack +x_3 \left\lbrack \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \\ \vdots \\ a_{\mathrm{m3}} \end{array}\right\rbrack +\cdots +x_n \left\lbrack \begin{array}{c} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{\mathrm{mn}} \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right\rbrack, \end{split}\]

o equivalentemente como

\[ x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + \dots + x_{n}u_{n} = v, \]

donde \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(\dots\), \(u_{n}\), \(v\) son los vectores columnas, respectivamente.

Definition 3

Un vector \(v\) es una combinación lineal de los vectores \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(\dots\), \(u_{n}\) si existen escalares \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(\dots\), \(a_{n}\) tales que

\[ v = a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} + \dots + a_{n}u_{n}. \]

La ecuación vectorial

\[ v = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + x_{3}u_{3} + \dots + x_{n}u_{n}, \]

tiene una solución cuando los \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(\dots\), \(x_{n}\) son escalares por determinar.

Ejemplo

  • Sean

\[\begin{split} v=\left\lbrack \begin{array}{c} 2\\ 3\\ -4 \end{array}\right\rbrack , u_1 =\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right\rbrack , u_2 =\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right\rbrack, u_3 =\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right\rbrack \ldotp \end{split}\]

Entonces \(v\) es una combinación lineal de \(u_{1}\), \(u_{2}\) y \(u_{3}\) dado que el sistema o ecuación vectorial

\[\begin{split} \left\lbrack \begin{array}{c} 2\\ 3\\ -4 \end{array}\right\rbrack =x\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right\rbrack +y\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right\rbrack +z\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right\rbrack , \end{split}\]

o bien

\[\begin{split} \begin{aligned} 2 &= x + y + z, \\ 3 &= x + y, \\ -4 &= x, \end{aligned} \end{split}\]

tiene una solución \(x=-4\), \(y=7\), \(z=-1\). Es decir

\[ v = -4u_{1} + 7u_{2} - u_{3}. \]

Dependencia lineal#

Definition 4

Los vectores \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\), \(\dots\), \(u_{n}\in \mathbb{R}\) son linealmente dependientes si existen escalares \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(\dots\), \(a_{n}\) no todos nulos tales que

\[ a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} + \dots + a_{n}u_{n} = 0. \]

La ecuación vectorial

\[ x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + x_{3}u_{3} + \dots + x_{n}u_{n} = 0, \]

tiene una solución no nula donde los escalares \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\), \(\dots\), \(x_{n}\) se deben determinar. En otro caso, los vectores son llamados linealmente independientes.

Ejemplo

  • La solución de

\[\begin{split} x\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right\rbrack +y\;\left\lbrack \begin{array}{c} 2\\ -1\\ 3 \end{array}\right\rbrack +z\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ -5\\ 3 \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right\rbrack , \end{split}\]

o bien

\[\begin{split} \begin{aligned} x + 2y + z &= 0, \\ x -y -5z &= 0, \\ x + 3y + 3z &= 0. \end{aligned} \end{split}\]

¿Cómo llegamos a lo siguiente?

\[\begin{split} \begin{aligned} x + y + z = 0, \\ x + y = 0, \\ x = 0, \end{aligned} \end{split}\]

cuya representación queda

\[\begin{split} x\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right\rbrack +y\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right\rbrack +z\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right\rbrack, \end{split}\]

es la solución no nula \(x=y=z=0\). Por lo tanto, los tres vectores son linealmente independientes.

El sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{split} x\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right\rbrack +y\;\left\lbrack \begin{array}{c} 2\\ -1\\ 3 \end{array}\right\rbrack +z\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ -5\\ 3 \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right\rbrack , \end{split}\]

o bien

\[\begin{split} \begin{aligned} x + 2y + z &= 0, \\ x - y - 5z &= 0, \\ x + 3y + 3z &= 0, \end{aligned} \end{split}\]

tiene una solución no nula \((x,y,z)=(3,-2,1)\). Por lo tanto, estos tres vectores son linealmente dependientes.

Ejemplo

  • Realice la conversión de la siguiente ecuación vectorial en un sistema de ecuaciones lineales equivalente y resuélvalo

\[\begin{split} \left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ -6\\ 5 \end{array}\right\rbrack =\;x\;\left\lbrack \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3 \end{array}\right\rbrack +y\;\left\lbrack \begin{array}{c} 2\\ 5\\ 8 \end{array}\right\rbrack +z\;\left\lbrack \begin{array}{c} 3\\ 2\\ 3 \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c} x+2y+3z\\ 2x+5y+2z\\ 3x+8y+3z \end{array}\right\rbrack \ldotp \end{split}\]

Ejemplo

  • Escriba el vector \(v=(1,-2,5)\) como combinación lineal de los vectores \(u_{1} = (1,1,1)\), \(u_{2} = (1,2,3)\) y \(u_{3}=(2,-1,1)\).

Ejemplo

Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes o dependientes

  • \(u_{1} = (1,1,1)\), \(u_{2} = (2,-1,3)\) y \(u_{3} = (1,-5,3)\).

  • \(u_{1} = (1,-2,-3)\), \(u_{2} = (2,3,-1)\) y \(u_{3} = (3,2,1)\).

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