Sistema de ecuaciones lineales homogéneos

Definition 7

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todas las constantes son iguales a cero, es decir

\[\begin{split} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= 0, \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= 0, \\ \vdots \quad &= \vdots \\ a_{m_{1}}x_{1} + a_{m_{2}}x_{2} + a_{m_{3}}x_{3} + \cdots + a_{mn}x_{n} &= 0. \end{aligned} \end{split}\]

El sistema anterior tiene una solución llamada solución nula o solución trivial denotada como \(n\)-ada \(0 = (0, 0, 0, \dots, 0)\). Entonces el sistema puede reducirse a un sistema equivalente en forma escalonada

\[\begin{split} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + a_{14}x_{4} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= 0, \\ a_{2j_{2}}x_{j_{2}} + a_{2,j_{2}+1}x_{j_{2}+1} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= 0, \\ \vdots \quad &= \vdots \\ a_{rj_{r}}x_{j_{r}} + a_{r,j_{r}+1}x_{j_{r}+1} + \cdots + a_{rn}x_{n} &= 0. \end{aligned} \end{split}\]

Del sistema anterior tenemos dos posibilidades

• Si \(r=n\), entonces el sistema tiene sólo la solución no nula.

• Si \(r<n\), entonces el sistema tiene una solución no nula.

Ejemplo

• Determine si \(u = (8, 1, 2)\) es solución de la siguiente ecuación lineal \(x + 2y - 3z = 4\).

• Encuentre cada una de las soluciones de la ecuación \(2x + y + x - 5 = 2y + 3x + y + 4\).

• Encuentre la solución general de la ecuación lineal \(x - 2y + 3z = 4\).

• Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{split} \begin{aligned} x - 2y + z &= 7, \\ 2x - y + 4z &= 17, \\ 3x - 2y + 2z &= 14. \end{aligned} \end{split}\]

Ejemplo

Determine los valores de \(k\) para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{split} \begin{aligned} x + y - z &= 1, \\ 2x + 3y + kz &= 3, \\ x + ky + 3z &= 2, \end{aligned} \end{split}\]

obtenga

• Una solución única.

• Ninguna solución.

• Infinitas soluciones.

Ejemplo

Reduzca la siguiente matriz \(A\) a la forma escalonada

\[\begin{split} A=\left\lbrack \begin{array}{cccc} 2 & -2 & 2 & 1\\ -3 & 6 & 0 & -1\\ 1 & -7 & 10 & 2 \end{array}\right\rbrack \ldotp \end{split}\]

Ejemplo Resuelva el siguiente sistema utilizando la matriz aumentada

\[\begin{split} \begin{aligned} x + 2y - 3z - 2s + 4t &= 1, \\ 2x + 5y - 8z - s + 6t &= 4, \\ x + 4y - 7z + 2t &= 8. \end{aligned} \end{split}\]

Ejemplo Determine si el siguiente sistema homogéneo tiene una solución no nula

\[\begin{split} \begin{aligned} x + 2y - z &= 0, \\ 2x + 5y + 2z &= 0, \\ x + 4y + 7z &= 0, \\ x + 3y + 3z &= 0. \end{aligned} \end{split}\]