Ecuaciones diferenciales

Definition 8

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + xy \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^{2}=0, \]

\[ \frac{\mathrm{d}^{4}x}{\mathrm{d}t^{4}} + 5\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + 3x = \sin(t), \]

\[ \frac{\partial v}{\partial s} + \frac{\partial v}{\partial t} = v. \]

Definition 9

Se define como ecuación diferencial ordinaria a una ecuación diferencial que involucra derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

En la primer y segunda ecuación, \(x\) es la variable independiente en la primera y \(t\) lo es en la segunda.

Definition 10

Se define como ecuación diferencial parcial a una ecuación diferencial que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de una variable independiente.

La tercer ecuación es un ejemplo de ecuación diferencial parcial donde las variables independientes son \(s\) y \(t\).

Definition 11

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en ella.

Definition 12

El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden que aparece en ella.

Ejemplo Considere las siguientes ecuaciones diferenciales

• \(\dot{y} + by = 0,\)

• \(L\frac{\mathrm{d}^{2}Q}{\mathrm{d}t^{2}} + R\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + \frac{Q}{C} = 0,\)

• \(x\dot{y}+ y = 3,\)

• \(\frac{\partial z}{\partial x} = z + x \frac{\partial z}{\partial y},\)

• \(\left(\ddot{y}\right)^2 + \left(\dot{y}\right)^{3} + 3y = x^{2}.\)

Definition 13

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal en la variable dependiente \(y\) así como en la variable independiente \(x\) si está escrita como sigue

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x). \]

Definition 14

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden \(n\), en la variable dependiente \(y\) así como en la variable independiente \(x\) si se expresa como sigue

\[ a_{0}(x)y^{(n)}(x) + a_{1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_{n-1}(x)\dot{y}(x) + a_{n}(x)y(x) = b(x), \]

donde \(a_{0}\) no es idénticamente cero y el término \(b(x)\) se le llama término no homogéneo.

¿Cómo podemos identificar las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales?

• La variable dependiente \(y\) y sus derivadas ocurren sólo en el primer grado.

• No hay productos de \(y\) o cualquiera de sus derivadas.

• No hay funciones trascendentales de \(y\) o sus derivadas

Ejemplo

Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son lineales

• \(\ddot{y}(x) + 5\dot{y}(x) + 6y(x) = 0,\)

• \(y^{iv}(x) + x^{2}\dddot{y}(x) + x^{3}\dot{y}(x) = x \cdot \exp(x).\)

Atención

La primer ecuación es homogénea mientras que la segunda es no homogénea.

Ejemplo

Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son no lineales

• \(\ddot{y}(x) + 5\dot{y}(x) + 6y^2(x) = 0,\)

• \(\ddot{y}(x) + 5(\dot{y}(x))^{3} + 6y = 0,\)

• \(\ddot{\theta}(t) + \frac{g}{l}\sin(\theta \cdot t) = 0,\)

• \(\ddot{y}(x) + 5y(x)\dot{y}(x) + 6y(x) = 0.\)

Una EDO lineal es EDO con coeficientes constantes si todos los coeficientes de las variables dependientes y sus derivadas son constantes. Si alguno de los coeficientes es función de la variable independiente se dice entonces que es una EDO lineal con coeficientes variables.

Ejemplo

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como ordinarias, parciales, lineales, no lineales, homogéneas, no homogéneas, con coeficientes constantes o variables así como su grado y orden.

• \(\dot{y}(x) + x^{2}y = x\exp{(x)}\),

• \(\dddot{y}(x) + 4\ddot{y}(x) - 5\dot{y}(x) + 3y(x) = \sin{(x)}\),

• \(u_{xx} + u_{yy} = 0\),

• \(y^{iv}(x) + 3\left[ \ddot{y}(x) \right]^{5} + 5y(x) = 0\),

• \(\ddot{y}(x) + y\sin{(x)} = 0\),

• \(\ddot{y}(x) + x\sin{(y)} = 0\),

• \(x^{vi}(t) + \left(x^{iv}(t) \right)\left( \dddot{x}(t) \right) + x = t\),

• \((\dot{r}(s))^{3} = \sqrt{\ddot{r}(s) + 1}\).