Transformada de Laplace

Suponga que \(f\) es una función real de la variable \(t>0\) y \(s\) un parámetro real, entonces definimos la transformada de Laplace de \(f\) como

\[ F(s) = \mathscr{L} \left\{f(t) \right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)~ \mathrm{d}t, \]

\[ F(s) = \lim \limits_{\tau \rightarrow \infty} \int_{0}^{\tau} e^{-st}f(t)~ \mathrm{d}t. \]

Para aplicar la transformada de Laplace a problemas físicos, es necesario invocar la transformada inversa. Si \(\mathscr{L}\left\{ f(t) \right\} = F(s)\), entonces la transformada inversa de Laplace está dada como sigue

\[ \mathscr{L}^{-1}\left\{ F(s) \right\} = f(t),\quad t\geq 0, \]

la cual mapea la transformada de Laplace de una función de regreso a la función original.

De las tablas tenemos

(1)\[ \mathscr{L}\left\{ \dot{f}(t) \right\} = sF(s) - f(0), \]

(2)\[ \mathscr{L}\left\{ \ddot{f}(t) \right\} = s^{2}F(s) - sf(0) - \dot{f}(0), \]

\[ \mathscr{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0). \]

Ejemplo

Muestre que \(y = 4\exp(2x) + 2\exp(-3x)\) es la solución al problema con valor inicial

\[ \ddot{y} + \dot{y} - 6y = 0, \quad y(0) = 6,\quad \dot{y}(0) = 2. \]

Definition 17

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si está escrita de la siguiente forma

\[ \dot{y}(x) + p(x) y(x) = q(x). \]

Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferncial y obtenga su solución

\[ x \dot{y} + (x + 1)y = x^{3} \quad \rightarrow \quad \dot{y} + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)y = x^{2}, \]

con \(p(x) = 1 + \frac{1}{x}\) y \(q(x) = x^{2}\).

Ejemplo

Encuentre la solución a los siguientes problemas con valor inicial utilizando Laplace y el método descrito anteriormente

• \(\dot{y} - 8y = 0, \quad y(0) = -3.\),

• \(\dot{y} + 16y = 0, \quad y(0) = 2.\),

• \(-4\dot{y} -3y = 0, \quad y(0) = 1.\),

• \(16\dot{y} + y = 0, \quad y\left(\frac{\pi}{3} \right) = 0.\),

• \(\dot{y} + 2y = 1\),

• \(\dot{y} + 4y = 8x\),

• \(\dot{y} + 3y = 6x^{2}\),

• \(\dot{y} + 3y = 3x^{2}e^{-3x}\).