Relación entre el modelo en variables de estado y la función de transferencia#
Considere el siguiente sistema
(44)#\[\begin{split}
\begin{aligned}
\dot{x} &= Ax + Bu, \\
y &= Cx.
\end{aligned}
\end{split}\]
Podemos obtener la función de transferencia \(G(s)\) del sistema (44) si aplicamos Laplace en ambos lados de la igualdad
\[\begin{split}
\mathscr{L}\left\{\dot{x}\right\} = A\mathscr{L}\left\{x\right\} + B\mathscr{L}\left\{u\right\}, \\
\end{split}\]
de (1), tenemos
(45)#\[\begin{split}
\begin{aligned}
s X(s) - X(0) &= AX(s) + bU(s), \\
s X(s) - AX(s) &= BU(s) + X(0), \\
\left(sI - A \right)X(s) &= BU(s) + X(0), \\
X(s) &= \left(sI - A \right)^{-1}\left[ BU(s) + x_{0} \right].
\end{aligned}
\end{split}\]
donde \(x_{0}:=X(0)\).
Recordando que \(y = Cx\), aplicando Laplace tenemos
\[
\mathscr{L}\left\{y\right\} = C\mathscr{L}\left\{x\right\},
\]
por consiguiente
(46)#\[
Y(s) = CX(s).
\]
(47)#\[\begin{split}
\begin{aligned}
Y(s) &= C\left(sI - A \right)^{-1}\left[ BU(s) + x_{0} \right], \\
&= C\left(sI - A \right)^{-1}BU(s) + C\left(sI - A \right)^{-1}x_{0}.
\end{aligned}
\end{split}\]
Asumiendo condiciones iniciales iguales a cero \(x_{0} = 0\), podemos obtener la función de transferencia del sistema (44) como sigue
\[
G(s) := \frac{Y(s)}{U(s)} = C\left(sI - A \right)^{-1}B.
\]