Método de Ruffini
También conocido como el método de división sintética es un procedimiento para dividir polinomios. Para encontrar las raíces de un polinomio, es necesario seguir el siguiente algoritmo.
Acomodar los términos del polinomio de mayor a menor grado. Por ejemplo, si tenemos el siguiente
\[
x^{4} + 4x - 9x^{2} + 12,
\]
se debe reescribir como
(55)\[
x^{4} - 9x^{2} + 4x + 12.
\]
Encontrar los divisores del coeficiente del término \(x_{0}\). Por consiguiente, los divisores son
\[
12: \pm 1,~\pm 2,~\pm 3,~\pm 4,~\pm 6,~\pm 12
\]
Tomar los coeficientes de la Ec. (55) y construir una tabla de la siguiente forma
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | \\
& & & & & | \\
- & - & - & - & - & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Si tomamos como divisor \(1\) y suponemos que \(x=1\) es una posible raíz de (55), entonces la tabla anterior queda como sigue
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | & x=1 \\
& & & & & | \\
- & - & - & - & - & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Bajamos el primer término
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | & x=1 \\
& & & & & | \\
- & - & - & - & - & | \\
1 & & & & & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Multiplicando el divisor por el término en la división
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | & x=1 \\
& 1 & & & & | \\
- & - & - & - & - & | \\
1 & & & & & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Sumando los elementos de la segunda columna
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | & x=1 \\
& 1 & & & & | \\
- & - & - & - & - & | \\
1 & 1 & & & & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Repitiendo estas operaciones con las columnas restantes
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | & x=1 \\
& 1 & 1 & -8 & -4 & | \\
- & - & - & - & - & | \\
1 & 1 & -8 & -4 & 8 & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Puesto que el elemento de la última columna es \(8\neq 0\), descartamos a \(x=1\) como posible raíz de (55), entonces repetimos el procedimiento del paso 3 ahora con \(x=-1\) como posible raíz.
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & 0 & -9 & 4 & 12 & | & x=-1 \\
& -1 & 1 & 8 & -12 & | \\
- & - & - & - & - & | \\
1 & -1 & -8 & 12 & 0 & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Entonces \(x + 1 = 0\).
Se construye una tabla con los coeficientes de las columnas que son diferentes de cero y se realiza el procedimiento de los puntos 2 y 3.
\[\begin{split}
\begin{matrix}
1 & -1 & -8 & 12 & | & x = 2 \\
& 2 & 2 & -12 & | \\
- & - & - & - & | \\
1 & 1 & -6 & 0 & |
\end{matrix}
\end{split}\]
Entonces \(x - 2 = 0\).
En este punto, podemos observar que el polinomio queda factorizado de la siguiente manera
\[
\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^{2} + x - 6\right)
\]
Las raíces de \(x^{2} + x - 6\) se pueden obtener utilizando el Método de Po-Shen Loh o bien, factorizando de la siguiente manera
\[
x^{2} + x - 6 = \left(x + 3\right)\left(x-2\right).
\]
Finalmente, observamos que las raíces son
\[
x_{1} = -1, \quad x_{2} = x_{3} = 2, \quad x_{4} = -3.
\]
