Ecuaciones lineales y sus soluciones

Ecuaciones lineales y sus soluciones#

Se entiende por ecuación lineal con \(n\) incógnitas \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\), \(\dots\), \(x_{n}\) a una ecuación que puede escribirse de la forma

\[ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} + \cdots + a_{n}x_{n} = b, \]

donde \(a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n}\) son constantes reales. Aquí la constante \(a_{k}\)se denomina el coeficiente de \(x_{k}\) y \(b\) se denomina la constante de la ecuación lineal.

Se le llama conjunto solución, solución general o simplemente solución de la ecuación al conjunto de todas las soluciones denotado como sigue

\[ S = \left \{ (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} | a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = b; \quad a_{1},a_{2},\dots,a_{n},b \in \mathbb{R} \right \}. \]

Ejemplo

  • La ecuación \(2x - 5y + 3xz = 4\) no es lineal debido al producto de dos incógnitas.

Ejemplo

  • La ecuación \(x + 2y - 4z + t = 3\) es lineal en las cuatro incógnitas \(x,y,z,t\).

Theorem 1

Consideremos la ecuación lineal \(Ax=b\)

  • Si \(a\neq0\), entonces \(x = b/A = A^{-1}b\) es solución única de \(Ax=b\).

  • Si \(a=0\), pero \(b\neq0\), entonces \(Ax=b\) no tiene solución.

  • Si \(a=0\) y \(b=0\), entonces todo escalar \(k\) es solución de \(Ax=b\).

Una ecuación degenerada es una ecuación lineal que tiene la siguiente forma

\[ 0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} + \cdots + 0x_{n} = b, \]

donde cada coeficiente es igual a cero y su solución está dada como sigue

Theorem 2

Sea la ecuación lineal degenerada \(0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} + \cdots + 0x_{n} = b\) se tiene

  • Si \(b\neq0\) entonces la ecuación no tiene solución.

  • Si \(b=0\) entonces todo vector es una solución.

Theorem 3

Sea una ecuación lineal no degenerada de la forma

\[ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} + \cdots + a_{n}x_{n} = b, \]

con primera incógnita \(x_{p}\).

Dará una solución única cualquier conjunto de valores de las incógnitas \(x_{j}\) con \(j\neq p\).

Nota

Las incógnitas \(x_{j}\) se llaman variables libres porque pueden tomar cualquier valor.

Ejemplo Dada la siguiente ecuación

\[ 2x - 4y + z = 8, \]

encuentre

  • Sus soluciones particulares.

  • Su solución general.

La solución general de una ecuación lineal no degenerada con dos incógnitas \(x\) y \(y\) de la forma

\[ ax + by = c, \]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son reales está dada como sigue

\[ S = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} | ax + by = c,\quad a,b,c \in \mathbb{R} \right\}. \]

Un sistema de dos ecuaciones lineales no degeneradas con dos incógnitas está dado como sigue

\[\begin{split} \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y &= c_{1},\\ a_{21}x + a_{22}y &= c_{2}, \end{aligned} \end{split}\]

donde \(u_{1}\) y \(u_{2}\) son números reales que satisfacen ambas ecuaciones y se le conoce como solución simultánea y se escribe como \(u=(u_{1},u_{2})\).

Podemos recurrir al método gráfico para encontrar tres casos:

  • El sistema tiene exactamente una solución.

  • El sistema no tiene soluciones.

  • El sistema tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo

  • Considere el siguiente sistema

\[\begin{split} \begin{aligned} L_{1}:\quad 2x + 5y &= 8, \\ L_{2}:\quad 3x - 2y &= -7. \end{aligned} \end{split}\]