Álgebra de matrices
Dadas dos matrices \(A\) y \(B\) de orden \(m\times n\)
\[\begin{split}
A=\left\lbrack \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & a_{3n} \\
a_{\mathrm{n1}} & a_{\mathrm{n2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack ,\;B=\left\lbrack \begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & b_{3n} \\
b_{\mathrm{n1}} & b_{\mathrm{n2}} & \cdots & b_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack,
\end{split}\]
podemos sumarlas o multiplicarlas.
La suma de \(A\) y \(B\) es una matriz \(A+B\) de \(m\times n\)
\[\begin{split}
A+B=\left\lbrack \begin{array}{cccc}
a_{11} +b_{11} & a_{12} +b_{12} & \cdots & a_{1n} +b_{1n} \\
a_{21} +b_{21} & a_{22} +b_{22} & \cdots & a_{2n} +b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{\mathrm{m1}} +b_{\mathrm{m1}} & a_{\mathrm{m2}} +b_{\mathrm{m2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}} +b_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack \ldotp
\end{split}\]
El producto de un escalar \(k\) y una matriz \(A\) es la matriz \(kA\) de orden \(m\times n\)
\[\begin{split}
\mathrm{kA}=\left\lbrack \begin{array}{cccc}
{\mathrm{ka}}_{11} & {\mathrm{ka}}_{12} & \cdots & {\mathrm{ka}}_{1n} \\
{\mathrm{ka}}_{21} & {\mathrm{ka}}_{22} & \cdots & {\mathrm{ka}}_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\mathrm{ka}}_{\mathrm{m1}} & {\mathrm{ka}}_{\mathrm{m2}} & \cdots & {\mathrm{ka}}_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack \ldotp
\end{split}\]
Theorem 4
Sea \(M_{mn}(\mathbb{R})\) el conjunto de todas las matrices de \(m\times n\) sobre \(\mathbb{R}\) se tiene
El producto de dos matrices \(A_{mp}\) y \(B_{pn}\), denotado como \(AB\) de \(m\times n\) está definido como
\[\begin{split}
\mathrm{AB}=\left\lbrack \begin{array}{cccc}
A_1 \cdot B^1 & A_1 \cdot B^2 & \cdots & A_1 \cdot B^n \\
A_2 \cdot B^1 & A_2 \cdot B^2 & \cdots & A_2 \cdot B^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_m \cdot B^1 & A_m \cdot B^2 & \cdots & A_m \cdot B^n
\end{array}\right\rbrack,
\end{split}\]
donde las \(A_{i}\), con \(i=1,2,3,\dots,m\) son las filas de la matriz \(A\) y las \(B^{j}\) con \(j=1,2,3,\dots,n\) son las columnas de la matriz \(B\).
Theorem 5
Sean \(A\), \(B\) y \(C\) matrices arbitrarias de órdenes compatibles, entonces las operaciones están definidas como sigue con un escalar cualquiera \(k\in \mathbb{R}\)
La transpuesta de una matriz \(A\), denotada como \(A^{T}\) se obtiene de escribir las filas de \(A\), por orden, como columnas
\[\begin{split}
{\left\lbrack \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{\mathrm{m1}} & a_{\mathrm{m2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack }^T =\left\lbrack \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{\mathrm{m1}} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{\mathrm{1n}} & a_{\mathrm{2n}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack.
\end{split}\]
Theorem 6
Sean \(A\) y \(B\) matrices arbitrarias de órdenes compatibles, las operaciones están definidas para un escalar \(k \in \mathbb{R}\) cualquiera como sigue
Un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas puede ser representado de forma equivalente como sigue
\[\begin{split}
\left\lbrack \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{\mathrm{m1}} & a_{\mathrm{m2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right\rbrack,
\end{split}\]
o simplemente \(Ax = b\), donde \(A = (a_{ij})\) es la matriz de coeficientes del sistema, \(x = (x_{j})\) representa el vector de incógnitas y \(b = (b_{i} )\) el vector de constantes.
La matriz aumentada del sistema dado en la expresión anterior está dada como sigue
\[\begin{split}
\left\lbrack A|B\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{\mathrm{m1}} & a_{\mathrm{m2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}} & b_m
\end{array}\right\rbrack.
\end{split}\]
Ejemplo
El siguiente ejemplo representa un sistema de ecuaciones lineales y su ecuación matricial equivalente
\[\begin{split}
\begin{aligned}
2x + 3y - 4z &= 7, \\
x - 2y - 5z &= 3,
\end{aligned}
\end{split}\]
o bien
\[\begin{split}
\left\lbrack \begin{array}{ccc}
2 & 3 & -4\\
1 & -2 & -5
\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c}
7\\
3
\end{array}\right\rbrack.
\end{split}\]
