Polinomio de Hurwitz

Definition 19

Un polinomio con coeficientes reales es llamado polinomio de Hurwitz si todas sus raíces tienen partes reales negativas.

Considere el siguiente polinomio

\[ D(s) = a_{n}s^{n} + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_{1}s + a_{0}, \quad a_{n}>0, \]

donde \(a_{i},i=0,1,\dots,n\) son constantes reales.

Condiciones necesarias

• Si \(D(s)\) es Hurwitz, entonces todos los coeficientes de \(D(s)\) deben ser positivos.

• Si \(D(s)\) tiene un término perdido o un coeficiente cero, entonces no es Hurwitz.

Theorem 7

Un polinomio con coeficientes positivos es un polinomio Hurwitz si y sólo si cada entrada en la tabla Routh es positivo, o equivalentemente, si y sólo si cada entrada en la primer columna de la tabla \((b_{61}\),\(b_{51}\),\(b_{41}\),\(b_{31}\),\(b_{21}\),\(b_{11}\),\(b_{01})\) es positivo.

Ejemplo

Considere el siguiente polinomio

\[ 2s^{4} + s^{3} + 5s^{2} + 3s + 4. \]

Determine si el sistema es estable o no estable utilizando el método de Routh-Hurwitz.

Ejemplo

Considere el siguiente polinomio

\[ 2s^{5} + s^{4} + 7s^{3} + 3s^{2} + 4s + 2. \]

Determine si el sistema es estable o no estable utilizando el método de Routh-Hurwitz.

Ejemplo

Considere el siguiente polinomio

\[ 2s^{5} + s^{4} + 7s^{3} + 3s^{2} + 4s + 1.5. \]

Determine si el sistema es estable o no estable utilizando el método de Routh-Hurwitz.

Ejemplo

Considere la siguiente función de transferencia

\[ G_{o}(s) = \frac{(2s + 1)(s + 1)}{s^{5} + 5s^{4} + 12s^{3} + 14s^{2} + 3s + 1}. \]

Determine si el sistema es estable o no estable utilizando:

• Polos y zeros.

• El método de Routh-Hurwitz.

Ejemplo

Considere la siguiente función de transferencia

\[ G_{o}(s) = \frac{8k}{(s + 1)(s^{2} + 2s + 2) + 8k}. \]

Determine si el sistema es estable o no estable utilizando el método de Routh-Hurwitz.

Ejemplo

Determine el intervalo de estabilidad para el siguiente sistema

\[ G(s) = \frac{k(s^{2} - 2s + 5)}{s^{3} + (5 + k)s^{2} + (12 - 2k)s + 5k - 18}. \]

Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para resolver este ejercicio.