Soluciones de ecuaciones diferenciales

La ecuación

\[ F\left(x,y,\dot{y}, \ddot{y}, \dddot{y}, \dots, y^{(n)} \right) = 0, \]

es una ecuación diferencial ordinaria de \(n\)-ésimo orden y representa una relación entre las \(n+2\) variables \(x,y,\dot{y},\ddot{y},\dddot{y},\dots,y^{(n)}\) que puede ser resuelta para \(y(n)\) en términos de las otras variables, i.e.

\[ y^{(n)} = f(x,y,\dot{y},\ddot{y},\dddot{y},\dots,y^{(n-1)}). \]

Definition 15

Sea \(f\) una función real definida para toda \(x\), se dice que la función \(f\) es una solución explícita si \(f\) satisface los siguientes requisitos

\[ F\left(x,f,\dot{f},\ddot{f},\dddot{f},\dots,f^{(n)} \right), \]

está definida \(\forall x \in I\).

\[ F\left(x,f,\dot{f},\ddot{f},\dddot{f},\dots,f^{(n)} \right) = 0. \]

Lo anterior se traduce en que si al sustituir \(f(x)\) y sus derivadas por \(y\) así como sus correspondientes derivadas, ésta se reduce a una identidad en \(I\).

Definition 16

Una relación de la forma \(g(x,y)\) se conoce como solución implícita si esta relación define una función real \(f\) de la variable \(x\) en un intervalo \(I\) tal que esta función es una solución explícita.

Ejemplo

La función \(f\) está definida \(\forall x \in \mathbb{R}\) como sigue

\[ f(x) = 2\sin(x) + 3\cos(x), \]

la cual es una solución explícita de la siguiente ED

\[ \ddot{y}(x) + y(x) = 0, \]

para todo \(x\in \mathbb{R}\).

Ejemplo

La relación

\[ x^{2} + y^{2} - 25 = 0, \]

es una solución implícita de la siguiente ED

\[ x + y(x)\dot{y}(x) = 0, \]

en el intervalo \(I = (-5,5)\).

Cuando hablamos de “resolver” una ecuación diferencial debemos considerar que no existen métodos exactos de solución y para ello utilizamos métodos aproximados. Por ejemplo:

• Métodos de integración por series.

• Métodos numéricos.

• Métodos gráficos

Ejemplo

Encuentre una solución a la ecuación diferencial

\[ \dot{y} = 2x, \]

tal que en \(x=1\) esta solución valga \(4\).

Problema con valor inicial. Implica que la solución o sus derivadas tomen valores en un solo valor de \(x\).

\[ \ddot{y}(x) + y(x) = 0, \quad y(1) = 3, \quad \dot{y}(1) = -4. \]

Problema con valores en la frontera. Implica que la solución o sus derivadas tomen valores de dos valores diferentes de \(x\).

\[ \ddot{y} + y = 0, \quad y(0) = 1,\quad y(\pi/2) = 5. \]

Ejemplo

Resuelva el siguiente problema con valor inicial

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{x}{y}, \quad y(3) = 4. \]