Matrices escalonadas#
Definition 5
Una matriz \(A\) se dice que está en forma escalonada o se denomina matriz escalonada si cumple las siguientes condiciones
Las filas no nulas están en la parte inferior de la matriz.
Cada entrada principal no nula está a la derecha de la entrada principal.
Definition 6
Una matriz aumentada \(M\) de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas está dada como sigue
\[\begin{split}
M=\left\lbrack \begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} & b_3 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{\mathrm{m1}} & a_{\mathrm{m2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}} & b_m
\end{array}\right\rbrack \ldotp
\end{split}\]
La matriz de coeficientes \(A\) del sistema anterior está dada por
\[\begin{split}
A=\left\lbrack \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{\mathrm{m1}} & a_{\mathrm{m2}} & \cdots & a_{\mathrm{mn}}
\end{array}\right\rbrack \ldotp
\end{split}\]
El sistema de ecuaciones dado por
\[\begin{split}
\begin{aligned}
x + y - 2z + 4t &= 5, \\
2x + 2y - 3z + t &= 3, \\
3x + 3y - 4z - 2t &= 1, \\
\end{aligned}
\end{split}\]
se resuelve reduciendo su matriz aumentada \(M\) a la forma escalonada y después a la forma canónica, i.e.
\[\begin{split}
M=\left\lbrack \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 4 & 5\\
2 & 2 & -3 & 1 & 3\\
3 & 3 & -4 & -2 & 1
\end{array}\right\rbrack \sim \left\lbrack \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 4 & 5\\
0 & 0 & 1 & -7 & -7\\
0 & 0 & 2 & -14 & -14
\end{array}\right\rbrack \sim \left\lbrack \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & -10 & -9\\
0 & 0 & 1 & -7 & -7
\end{array}\right\rbrack
\end{split}\]
Por lo tanto, la solución general queda como sigue
\[\begin{split}
\begin{aligned}
x + y - 10t &= -9, \\
z - 7t &= -7,
\end{aligned}
\end{split}\]
y el conjunto solución
\[
S = \left\{ u \in \mathbb{R}^{4} ~|~ u = (-9-y+10t,y,-7 + 7t,t),\quad y,t \in \mathbb{R} \right\}.
\]