Ecuaciones en variables de estado

Método de los factores integrantes

Para resolver una ecuación diferencial ordinaria de la forma

\[ ax''+bx'+cx=0, \]

podemos sustituir \(u(t) = e^{mt}\) en la ecuación anterior, para obtener

\[ (am^{2}+bm+c)e^{mt} = 0. \]

Puesto que \(e^{mt}\) no se anula, tenemos la siguiente ecuación característica

\[ am^{2}+ bm + c = 0, \]

de donde tenemos tres casos que considerar:

• Si \(b^{2}-4ac>0\), la ecuación anterior tiene dos soluciones reales \(m_{1}\) y \(m_{2}\). Entonces la solución general es \(u(t) = c_{1}e^{m_{1}t} + c_{2}e^{m_{2}t}\).

• Si \(b^{2}-4ac<0\), la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas \(\mu\pm i\sigma\). Entonces la solución general es \(u(t) = e^{\mu t}(c_{1}\cos(\sigma t)+ c_{2}\sin(\sigma t))\).

• Si \(b^{2}-4ac=0\), la ecuación tiene una raíz doble \(m\). Entonces la solución general es \(u(t)=e^{mt}(c_{1}+c_{2}t)\).

Sistemas lineales desacoplados

El método de factores integrantes se puede usar para resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma

\[ \dot{x} = Ax. \]

La rescribimos como \(\dot{x}-Ax = 0\), la multiplicamos por \(e^{-at}\) para obtener

\[ (xe^{-at})'=0, \]

con lo que \(xe^{-at} = c\), donde \(c\) es una constante. La solución general está dada por

\[ x(t) = ce^{at}, \]

donde la constante \(c=x(0)\), es el valor de la función en el tiempo \(t=0\).

Ejemplo

Consideremos ahora el sistema lineal desacoplado

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{x}_{1} &= -x_{1}, \\ \dot{x}_{2} &= 2x_{2}. \end{aligned} \end{split}\]

Este sistema se puede escribir en forma matricial como

\[ \dot{x}=Ax, \]

donde

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Nota

Observe que \(A\) es una matriz diagonal, y en general siempre que \(A\) sea una matriz diagonal, el sistema se reduce a un sistema lineal desacoplado.

La solución general del sistema desacoplado anterior puede obtenerse mediante el método de los factores integrantes (o usando el de separación de variables) y se expresa como

\[\begin{split} \begin{aligned} x_{1}(t) &= c_{1}e^{-t}, \\ x_{2}(t) &= c_{2}e^{2t}, \end{aligned} \end{split}\]

o equivalentemente por

\[\begin{split} x(t) = \begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{2t} \end{bmatrix} \end{split}\]

donde \(c=x(0)\).

Definition 35

El retrato fase, o diagrama de órbitas, de un sistema de ecuaciones diferenciales tales con \(x\in \mathbb{R}^{n}\), es el conjunto de todas las curvas integrales en el espacio fase.

Ejemplo

Consideremos el siguiente sistema lineal desacoplado en

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{x}_{1} &= x_{1}, \\ \dot{x}_{2} &= x_{2}, \\ \dot{x}_{3} &= -x_{3}, \end{aligned} \end{split}\]

cuya solución general está dada por

\[\begin{split} \begin{aligned} x_{1}(t) &= c_{1}e^{t}, \\ x_{2}(t) &= c_{2}e^{t}, \\ x_{3}(t) &= c_{3}e^{-t}. \end{aligned} \end{split}\]

El retrato fase para este sistema se muestra a continuación

El plano \(x_{1}x_{2}\) se define como subespacio inestable y al eje \(x_{3}\) se le llama el subespacio estable.

Diagonalización

Se pueden usar las técnicas algebraicas para diagonalizar una matriz \(A\) cuadrada para reducir el sistema lineal

\[ \dot{x}=Ax, \]

a un sistema lineal desacoplado. Primero consideramos el caso cuando \(A\) tiene eigenvalores reales y distintos. El siguiente teorema del Algebra Lineal nos ayudará a resolver este problema.

Theorem 8

Si los eigenvalores \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}\) de una matriz \(A\) de orden \(n\times n\) son reales y distintos, entonces cualquier conjunto de eigenvectores correpondientes \(v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\) forma una base para \(\mathbb{R}^{n}\), la matriz \(P = [v_{1}~v_{2}~\dots~v_{n}]\) es invertible y

\[ P^{-1}AP=diag\left[\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n} \right]. \]

Definition 36 (Polinomio característico)

Sean \(A, I~ \in \mathbb{R}^{n\times n}\) con \(I\) definida como la matriz identidad. Sea \(\lambda\in \mathbb{R}\), entonces

• La matriz característica de \(A\) se define como \(A-\lambda I\).

• El determinante de la matriz característica de \(A\) es un polinomio en \(\lambda\); se denomina polinomio característico de \(A\) y se define como \(\phi_{A}(\lambda) = \left| A - \lambda I \right|\).

• La ecuación característica de \(A\) se define como \(\phi_{A}(\lambda) = \left| A - \lambda I \right| = 0\).

Definition 37 (Eigenvalores)

Sea \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\). Se dice que un escalar \(\lambda \in \mathbb{R}\) es un eigenvalor de \(A\) si satisface la ecuación característica de A

\[ \phi_{A}(\lambda) = \left| A - \lambda I \right| = 0. \]

Si \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) y \(\lambda \in \mathbb{R}\), entonces \(\phi_{A}(\lambda) = \left| A - \lambda I \right| = 0\) sí, y sólo sí, el sistema

\[ (A-\lambda I)\nu = 0, \]

tiene soluciones no triviales. La ecuación anterior se puede expresar como

\[ A\nu = \lambda \nu. \]

Así, tenemos que \(\lambda \in \mathbb{R}\) es un eigenvalor de \(A\) si existe un \(\nu \mathbb{R}^{n}\), con \(\nu \neq 0\) tal que \((A - \lambda I)\nu = 0\).

Definition 38 (Eigenvectores)

Todo vector \(\nu\) que satisfaga \((A- \lambda I )\nu = 0\), se llama un Eigenvector de \(A\) correspondiente a \(\lambda\).

Theorem 9 (Cayley-Hamilton)

Sea \(A^{n\times n}\) una matriz con polinomio característico \(\phi_{A}(\lambda)\) entonces \(\phi_{A}(A) = 0\).

Considere la siguiente matriz

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} -6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 4 \end{bmatrix}, \end{split}\]

cuyo polinomio característico está definido como sigue

\[\begin{split} \begin{aligned} \phi_{A}(\lambda) &= \left| \begin{bmatrix} -6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \right| = \left| \begin{bmatrix} - 6 - \lambda & -\frac{7}{2} \\ 6 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \right|, \\ &= (-\lambda - 6)(4 - \lambda) - (6)\left(-\frac{7}{2}\right) = \lambda^{2} + 2\lambda - 3. \end{aligned} \end{split}\]

Entonces, \(\phi_{A}(A)\) se define como sigue

\[\begin{split} \begin{aligned} \phi_{A}(A) &= A^{2} + 2A - 3I, \\ &= \begin{bmatrix} -6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 4 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \\ &= \begin{bmatrix} 15 & 7 \\ -12 & -5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -12 & -7 \\ 12 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{aligned} \end{split}\]

Ejemplo

Considere el sistema lineal

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{x}_{1} &= -x_{1}- 3x_{2}, \\ \dot{x}_{2} &= 2x_{2}. \end{aligned} \end{split}\]

Escriba el sistema anterior en la forma \(\dot{x}=Ax\), encuentre los eigenvalores de \(A\) así como un par de eigenvectores correspondientes. A partir de esto, obtenga el sistema desacoplado.

Definition 39

Supongamos que la matriz \(A\) de orden \(n\times n\) tiene \(k\) eigenvalores negativos \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{k}\) y \(n-k\) eigenvalores positivos \(\lambda_{k+1},\dots,\lambda_{n}\) y que estos eigenvalores son distintos. Sea \(\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}\) el conjunto de eigenvectores correspondientes. Entonces los subespacios estable e inestable del sistema lineal, \(E^{e}\) y \(E^{i}\), son los subespacios generados por \(\{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\}\) y \(\{v_{k+1},\dots,v_{n}\}\), respectivamente, i.e.

\[ E^{e} = gen\{v_{1},\dots,v_{k}\}, \]

\[ E^{i} = gen\{v_{k+1},\dots,v_{n}\}. \]

Si la matriz \(A\) tiene eigenvalores imaginarios puros, entonces también hay otro subespacio llamado el subespacio centro, \(E^{c}\).

Ejemplo

Encuentre los eigenvalores y eigenvectores de la siguiente matriz

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Ejemplo Encuentre los eigenvalores y eigenvectores de la siguiente matriz

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Ejemplo Encuentre los eigenvalores y eigenvectores de la siguiente matriz

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Ejemplo

Encuentre los eigenvalores y eigenvectores de la matriz \(A\), resuelva el sistema lineal \(\dot{x} = Ax\)

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Ejemplo

Escriba las siguientes ecuaciones diferenciales lineales en la forma \(\dot{x} = Ax\) y resuelva

• \(\ddot{x}+\dot{x}-2x=0\),

• \(\ddot{x}+\dot{x}=0\),

• \(\dddot{x}-2\ddot{x}-x+2x=0\).

Ecuaciones en variables de estado

La representación de un sistema LTI en espacio de estados tiene la siguiente forma

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{x}_{1}(t) &= a_{11}x_{1}(t) + a_{12}x_{2}(t) + a_{13}x_{3}(t) + b_{1}u(t), \\ \dot{x}_{2}(t) &= a_{21}x_{1}(t) + a_{22}x_{2}(t) + a_{23}x_{3}(t) + b_{2}u(t), \\ \dot{x}_{3}(t) &= a_{31}x_{1}(t) + a_{22}x_{2}(t) + a_{33}x_{3}(t) + b_{3}u(t), \\ y(t) &= c_{1}x_{1}(t) + c_{2}x_{2}(t) + c_{3}x_{3}(t) + du(t), \end{aligned} \end{split}\]

donde \(u\), \(x\), \(y\) son la entrada y la salida; \(x_{i}, i=1,2,3\) son llamadas las variables de estado; \(a_{ij}\), \(b_{i}\), \(c_{i}\) y \(d\) son constantes; \(\dot{x}_{i} := \mathrm{d}x_{i}(t)/\mathrm{d}t\).

Sistema definido en espacio de estados

\[\begin{split} \dot{x} = \begin{bmatrix} \dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \\ \dot{x}_{3} \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \end{split}\]

además \(C = \begin{bmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix}\).

Considérese el sistema definido mediante

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{x} &= Ax + Bu, \\ y &= Cx + Du, \end{aligned} \end{split}\]

donde

• \(x\) = vector de estado (vector de dimensión \(n\))

• \(y\) = vector de salida (vector de dimensión \(m\))

• \(u\) = vector de control (vector de dimensión \(r\))

• \(A\) = matriz de estado (matriz de dimensión \(n\times n\))

• \(B\) = matriz de control (matriz de dimensión \(n\times r\))

• \(C\) = matriz de salida (matriz de dimensión \(m\times n\))

• \(D\) = matriz de transmisión directa (matriz de dimensión \(m\times r\))

Ejemplo

Considere el siguiente sistema

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot{x}_{1} &= -6x_{1} - 3.5x_{2} -u, \\ \dot{x}_{2} &= 6 x_{1} + 4 x_{2} + u, \\ y &= 4x_{1} + 5x_{2}. \end{aligned} \end{split}\]

Determine

• Si la función de transferencia es propia o impropia.

• Sus polos y zeros.

• La respuesta ante una entrada tipo escalón unitario \(u(t)=1\).